Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 7
Definition 1.10 (Alternative Definition von Arbitrage). Eine Arbitrage-Möglichkeit ist eine
Handelsstrategie H, sodass eine weitere Handelsstrategie H existiert mit
• V0 = V0
• V1(ω) ≥ V1(ω)∀ω ∈ Ω
• ∃ω ∈ Ω : V1(ω) > V1(ω) (oder alternativ E[V1] > E[ V1], da π(ω) > 0∀ω ∈ Ω)
Bemerkung 1.9. Die Existenz von Arbitrage ist nach beiden Definitionen äquivalent, da Definition 1.9
nur der Spezialfall H = 0 von Definition 1.10 ist, und andererseits die HS H − H die Bedingungen von
Definition 1.9 erfüllt. Wenn es also eine Arbitrage-Möglichkeit im Sinn von Definition 1.9 gibt, dann auch
im Sinn von Definition 1.10 und umgekehrt.
Interpretation. Arbitrage bedeutet einen risikolosen Gewinn. Insbesondere besteht ohne Kapitel (V0 = 0)
eine Chance auf einen Gewinn in zumindest einem möglichen Marktzustand, aber es ist kein Verlust
möglich. In eine derartige Investitionsmöglichkeit würden alle am Markt (beliebig viel, da kein Kapital
nötig ist) investieren. Daher ist die Nicht-Existenz der Möglichkeit eines risikolosen Gewinnes das
Grundprinzip der Finanzmathematik. Außerdem würde aufgrund der starken Nachfrage nach den Marktprinzipien
der Preis steigen und die Arbitrage doch wieder verschwinden.
Lemma 1.6. Wenn es eine dominierende Handelsstrategie gibt, existiert eine Arbitrage-Möglichkeit.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Beweis. Die Handelsstrategie ¯ H dominiere H. Dann erfüllt H = ¯ H − H alle Bedingungen für eine
Arbitrage-Möglichkeit.
Beispiel 1.5 (Arbitrage, aber keine dominierende Handelsstrategie). k = 2 Zustände, N = 1 risikobehaftetes
Asset, r = 0, S0 = 10, S1(ω1) = 12, S1(ω2) = 10.
• H = (−10, 1) ist eine Arbitrage-Möglichkeit, weil V0 = −10+1·10 = 0, aber V1(ω1) = −10+12 = 2
und V1(ω2) = −10 + 10 = 0.
• π = (0, 1) ist ein lineares Preismaß, daher existiert keine dominierende Handelsstrategie.
Bemerkung 1.10. Der Zustand ω2, der im letzten Beispiel die Arbitrage liefert, wird durch π(ω2) = 0
wieder kompensiert und wirkt sich daher nicht auf V0 aus.
Korollar 1.7. H ist eine Arbitrage-Möglichkeit dann und nur dann, wenn (a) G ≥ 0, (b) E[ G] > 0
und (c) V0 = 0.
Beweis. Simples Übungsbeispiel.
1.3 Risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß)
Frage. Wann gibt es keine Arbitrage-Möglichkeit?
Wie wir in Beispiel 1.5 gesehen haben, verhindert die Existenz eines linearen Preismaßes zwar die Existenz
von dominierenden Handelsstrategien, nicht jedoch die Existenz von Arbitrage. Die Analyse des Beispiels
zeigte uns, dass π(ω2) = 0 zur Folge hatte, dass der Arbitrage erlaubende Zustand ω2 sich nicht auf die
Martingaleigenschaft auswirkt. Um diesen Fall also zu verhindern, werden wir nun zusätzlich fordern,
dass jeder Zustand wirklich positive Wahrscheinlichkeit besitzt.