Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN IM DISKRETEN MODELL 43
9.1 Die Snell-Envelope (Snell’sche Einhüllende)
Definition 9.2 (Snell’sche Einhüllende). Sei {Zt} t≤T ein adaptierter Prozess. Die Snell’sche
Einhüllende (Envelope) {Ut} t≤T ist definiert durch
Ut =
Zt, wenn t = T
max {Zt, E [Ut+1|Ft]} für t ∈ {0, . . . , T − 1}
Lemma 9.1. {Ut} t≤T ist das kleinste P-Supermartingal, das {Zt} t≤T dominiert.
Beweis. • Da nach Definition Ut ≥ Zt ∀t ≤ T gilt, ist U dominierend.
• Weiters gilt nach Definition Ut ≥ E[Ut+1|Ft], womit U ein Supermartingal ist.
• Sei nun {Vt} t≤T ein dominierendes Supermartingal von {Zt} t≤T . Wir werden induktiv zeigen, dass
V das Supermartingal U dominiert. Es ist nach Definition VT ≥ ZT = UT . Wenn Vt+1 ≥ Ut+1,
dann gilt
Vt
Super-
Mart.
≥ E[Vt+1|Ft] ≥ E[Ut+1|Ft] f.s.
Vt ≥ Zt
⎫
⎬
⎭ Vt ≥ max (Zt, E[Ut+1|Ft]) = Ut
Damit dominiert nach Rückwärtsinduktion Vt also Ut und {Ut} t≤T ist das kleinste Supermartingal,
das Z dominiert.
Lemma 9.2. τ0 = inf {t ≥ 0 : Ut = Zt} ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge {Ut∧τ0} t≤T ist ein
Martingal.
Beweis. a) Da UT = ZT gilt, ist τ0 wohldefiniert und τ0 ∈ {0, . . . , T } ∀ω ∈ Ω. Es ist weiters {τ0 ≤ t} =
t
n=0 {Zn = Un} ∈ Ft∀t ∈ {0, . . . , T }, womit τ0 eine Stoppzeit ist.
b) Für die Martingaleigenschaft schreibe für t ∈ {0, . . . , T }
U τ0
t+1 = Ut+1∧τ0 = U0
t+1
+
Hj (Uj − Uj−1) ,
wobei Hj = 1 {τ0≥j}. Beachte, dass {τ0 ≥ j} = Ω/ {τ0 ≤ j − 1} ∈ Ft−1, d.h. Hj ist vorhersagbar.
Da Ut > Zt auf {τ0 ≥ t + 1}, gilt Ut = E[Ut+1|Ft] f.s. zu diesen Zeiten. Daher ist
Da Ht+1 Ft-messbar ist, gilt
j=1
U τ0 τ0
t+1 − Ut = Ht+1 (Ut+1 − Ut) = Ht+1 (Ut+1 − E[Ut+1|Ft]) .
E U τ0
t+1
und U τ0
t ist ein Martingal.
τ0
− U
t Ft = Ht+1 E [Ut+1 − E[Et+1|Ft]| Ft] = 0
=0
Bemerkung 9.1. Seit τ : Ω → I eine Stoppzeit mit I = {0, . . . , T } oder I = N. Dann gilt:
1. Wenn {Xt}t∈I adaptiert ist, dann ist auch {X τ t }t∈I adaptiert.