Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 10
Optimale Portfolios und
Martingalmethoden
Großteils nach Pliska [Pli97, Kap. 5.2 und 5.4]
Betrachte eine Nutzenfunktion u(w, ω) : R × Ω → R (differenzierbar, konkav, streng monoton steigend).
Das Anfangskapital ν sei gegeben.
Problem 3. Finde eine selbstfinanzierende Handelsstrategie H mit Anfangswert V0 = ν mit
max E[u(VT )] =
P(ω)u(VT (ω), ω)
ω∈Ω
unter V0 = ν, H ∈ H
Problem 4 (äquivalente Formulierung).
max E[u(BT (ν + GT ))]
unter H ∈ H − p (vorhersagbare Handelsstrategie in R T )
Definition 10.1. Die Menge aller mit dem Anfangskapital ν erreichbaren Kapitale sei Wν =
W ∈ R k : ∃H ∈ H mit V0 = ν
Bemerkung 10.1. Ist das Modell vollständig, so gilt Wν = W ∈ R k |EQ[W/BT ] = ν .
Problem 5 (alternative Formulierung).
max Eu(W )
unter W ∈ Wν
Die Lösung von Problem 5 erfolgt z.B. mittels Lagrange-Multiplikator:
W
max Eu(W ) − λEQ = max E u(W ) − λ
BT
W
Q
= max
BT
P
=:L
W (ω)
P(ω) u(W (ω)) − λL(ω)
BT (ω)
ω∈Ω
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