Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 17
Die Kenngröße, um die Auswahl eines Portfolios zu optimieren ist nun der erwartete Nutzen des Endwertes:
EU(V1) =
P(ω)U(V1(ω), ω)
ω∈Ω
Bemerkung 1.16. Oft wird angenommen, dass der Nutzen eines Betrages w nicht vom Marktzustand ω
abhängig ist, also U(w, ω) = U(w).
Bemerkung 1.17. Der erwartete Nutzen muss bezüglich der tatsächlich eintretenden Wahrscheinlichkeiten
bestimmt werden! Als Daumenregel kann man sich merken:
• Geht es um die Bestimmung des Preises (der sich ja aufgrund der No-Arbitrage Bedingung aus den
Preisen der am Markt verfügbaren Assets ergibt), ist ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Q
für den Erwartungswert zu benutzen. Hierfür werden die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten P der
einzelnen Marktzustände gar nicht benötigt!
• Geht es jedoch um tatsächliche Auszahlungen, ist sehr wohl das tatsächliche Wahrscheinlichkeitsmaß
P zu benutzen.
Definition 1.21. H bezeichne die Menge aller Handelsstrategien.
Problem 1 (Optimales Portfolio-Problem). Sei ν ∈ R das Anfangskapital. Gesucht ist die Handelsstrategie
H ∈ H mit
max
H∈H EU(V1) (1.1)
unter V0 = ν (1.2)
Problem 2 (Alternative Formulierung des Optimalen Portfolio-Problems). Mit den Definitionen
V1 = B1
V1 = B1 · V0 +
G sowie durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung
ergibt sich eine alternative Formulierung
max
H∈H E
N
U B1 · (ν + Hi∆ S (n)
)
(1.3)
Lemma 1.17. Wenn (1.1) oder (1.3) eine Lösung besitzt, gibt es keine Arbitrage-Möglichkeit (und
damit ein RNM). Äquivalent dazu ist die Aussage: Existiert eine Arbitrage-Möglichkeit, hat (1.1)
keine Lösung und der Nutzen kann beliebig erhöht werden.
Beweis. Wir werden die zweite Formulierung beweisen. Sei H optimal und H eine Arbitrage-Möglichkeit.
Betrachte die Handelsstrategie ¯ H = H + H:
ν +
N
¯Hn∆ S (n) N
= ν + Hn∆ S (n) N
+ Hn∆ S (n)
N
≥ ν + Hn∆ S (n)
n=1
n=1
i=1
n=1
≥0
Die Ungleichung ist wegen der Definition einer Arbitrage-Möglichkeit H für mindestens ein ω ∈ Ω strikt,
was einen Widerspruch zur Optimalität von H darstellt.
n=1