Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer
Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer
Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Kapitel 6<br />
Das Binomialmodell<br />
6.1 Beschreibung des Modells<br />
Definition 6.1 (Assets im Binomialmodell).<br />
1. Bankkonto (risikolos): B0 = 1, Bt = e rt Bt−1 mit rt ∈ R für t = 1, . . . , T<br />
2. risikobehaftete(s) Asset(s) (Stock/Aktie): S0 > 0 (konstant) und für t = 1, . . . , T :<br />
<br />
ut · St−1, wenn Xt = 1 ( up“)<br />
St =<br />
”<br />
dt · St−1, wenn Xt = 0 ( down“)<br />
”<br />
mit Konstanten 0 < dt < ut und Bernoulli-Zufallsvariablen X1, . . . , XT .<br />
Zu den Zeitpunkten 0, 1, . . . , T teilen sich alle bisher gleich verlaufenden Pfade in je zwei Klassen auf, die<br />
einen, die nun nach oben springen, während die anderen nach unten springen. Damit erhält man jeweils<br />
eine Information mehr zu 1, . . . , T , beschrieben durch die Filtration F0 = {∅, Ω} ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ FT .<br />
Jedes Atom der Filtration Ft wird dabei jeweils in zwei Atome von Ft+1 geteilt. Folgendes Bild kann das<br />
schön verdeutlichen:<br />
S0<br />
u0<br />
d0<br />
<br />
u1<br />
d1<br />
<br />
<br />
u2<br />
d2<br />
u2<br />
d2<br />
F1<br />
F2 F3<br />
<br />
u1<br />
d1<br />
<br />
<br />
u2<br />
d2<br />
u2<br />
d2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u0u1u2u3S0<br />
<br />
<br />
u0u1d2d3S0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d0d1d2d3S0<br />
Die Beschreibung der Pfade erfolgt durch {0, 1}-wertige Zufallsvariablen: Seien X1, . . . , XT {0, 1}-wertige<br />
Zufallsvariablen mit P(X1 = x1, . . . , XT = xT ) > 0 für alle (x1, . . . , xT ) ∈ {0, 1} T . Der Vektor ω =<br />
25
Change language