Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 27
Bemerkung 6.2. Der Prozess kann zum Zeitpunkt t nur t + 1 verschiedene Werte annehmen!
6.2 Arbitrage-Überlegungen
Lemma 6.2. Aus der ” No-Arbitrage“-Bedingung ergibt sich:
dt < e rt < ut ∀t = 1, . . . , T . (6.1)
Das risikoneutrale Maß im Binomialmodell ist eindeutig und besitzt die Form
qt = ert − dt
ut − dt
Übungsbeispiel 6.1. Wenn (6.1) nicht erfüllt ist, gib eine Arbitrage-Strategie an!
Betrachte nun den diskontierten risikobehafteten Preisprozess
St = St
Bt
=
St−1ute −rt wenn Xt = 1,
St−1dte −rt wenn Xt = 0,
Beweis. Wenn ein Martingalmaß Q existiert für S0, . . . , ST (und damit keine Arbitrage möglich ist), dann
gilt für t = 1, . . . , T
St−1 = EQ[ St|Ft−1]
und nach Division durch das Ft−1-messbare St−1 weiter
1 = EQ
St
Ft−1
= ute −rt Q(Xt = 1|Ft−1)
St−1
=qt
+dte −rt Q(Xt = 0|Ft−1)
=1−qt
Aufgelöst nach qt ergibt dies das eindeutig bestimmte risikoneutrale Maß
qt = ert − dt
ut − dt
(6.2)
= ute −rt qt + dte −rt (1 − qt) .
Dies ist nur ein RNM mit qt ∈ ]0, 1[, wenn obige Ungleichungen dt < e rt < ut erfüllt sind.
Bemerkung 6.3. Im CRR Modell ergibt sich für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit eines Sprungs nach
oben
(1 + R) − d
q = .
u − d
Das Martingalmaß für einen Pfad ω mit n Sprüngen nach oben ist Q(ω) = qn (1−q) t−n , das Martingalmaß
für den Wert St ist
Q(St = S0u n d t−n
t
) = q
n
n (1 − q) t−n , n = 0, 1, . . . , t
Bemerkung 6.4. Da qt = Q(Xt = 1|Ft−1) = Q(Xt = 1) unabhängig vom bisherigen Verlauf und dem
Wert Xt−1 – insbesondere also unabhängig von Ft−1 – ist, folgt
Q(X1 = x1, . . . , XT = xT ) = Q(X1 = x1) · . . . · Q(XT = xT )∀x1, . . . , xT ∈ {0, 1}
durch iteriertes Bedingen. D.h. die X1, . . . , XT sind unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen (nicht notwendigerweise
identisch verteilt) unter Q!
Bemerkung 6.5. Wenn (6.1) gilt, ist das Martingalmaß eindeutig und das Marktmodell daher vollständig.
Es gibt also kein arbitragefreies unvollständiges Binomialmodell.