Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 3
Beispiel 1.1. k = 2 Marktzustände, N = 1 risikobehaftetes Asset, Zins r = 1
9 . Die Kursentwicklung
verhält sich:
B0 = 1 B1(ω) = 1 + 1 10
=
9 9
S0 = 5 S1(ω1) = 20
3
S0 = 5
S1(ω1) = 20
3 /10
= 6
9
S1(ω2) = 40
9
S1(ω2) = 40
9 /10 = 4
9
Damit ergeben sich für eine Handelsstrategie H = (H0, H1) die Werte zu t0 = 0 und t1 = 1 sowie der
Gewinn als
V0 = V0 = 1 · H0 + 5H1
V1(ω) = 10
9 H0 + H1S1(ω)
G(ω) = 1
9 H1 + (S1(ω) − S0)H1
Dies definiert uns also für jeden Marktzustand ω ∈ Ω eine Gleichung.
V1 = H0 + H1 S1(ω)
G(ω) = H1( S1(ω) − S0)
Bemerkung 1.4. ω sind die möglichen Marktzustände zu t = 1. Deren tatsächliche Wahrscheinlichkeiten
sind nicht näher gegeben (werden aber – wie wir später sehen werden – auch gar nicht zur Preisfestlegung
eines Derivats benötigt)!
Bemerkung 1.5. Unser erstes Ziel ist nun, für eine gegebene Verpflichtung V1(ωi) (z.B. ein abgeschlossener
Vertrag oder ein sonstiges Derivat, das abhängig vom Marktzustand Leistungen bietet) eine Handelsstrategie
H = (H0, H1, . . . , HN) zu finden, die zum Zeitpunkt t = 1 in jedem Marktzustand ωi genau den
Wert V1(ωi) hat. Wenn wir nun zu t = 0 den Betrag V0 in dieses Portfolio investieren, können wir exakt
die nötigen Zahlungen tätigen. Insofern ist also V0 ein fairer Preis bzw. der momentane Wert von V zum
Zeitpunkt t = 0.
Bemerkung 1.6. Wenn man obiges Beispiel betrachtet, sieht man, dass wir für die Bestimmung von H0
und H1 für die beiden Assets aus den V1 genau zwei mögliche Zustände haben, wobei jeder Zustand ωi
eine Gleichung definiert. Insbesondere haben wir zwei Gleichungen für zwei Variablen und können i.A.
ein eindeutiges derartiges Portfolio bestimmen:
V1(ω1) = H0 + H1S (1)
1 (ω1)
V1(ω2) = H0 + H1S (1)
1 (ω2)
Die Lösung kann daher als eine Linearkombination der Portfoliowerte zu t = 1 dargestellt werden kann:
H0 =
H1 =
1
S (1)
1 (ω1) − S (1)
1 (ω2)
V1(ω1)
(−1)
+
S
(1)
1 (ω1) − S (1)
1 (ω2)
V1(ω2)
a0,1
1
S (1)
1 (ω2)
1
1 −
S (1)
1 (ω1) − S (1)
1 (ω2)
V1(ω1)
(−1)
+
(S (1)
1 (ω1) − S (1) (1)
1 (ω2))S 1 (ω1)
V1(ω2)
a1,1
Damit berechnet sich der momentane Wert dieses Portfolios, das genau V1 generiert, durch:
V0 = H0 + H1S (1)
0 = a0,1 V1(ω1) + a0,1 V1(ω2) + S (1)
0 a1,1 V1(ω1) + S (1)
0 a1,2 V1(ω2)
= a0,1 + S (1)
0 a1,1
V1(ω1) + a1,1 + S
(1)
0 a1,2
V1(ω2) = EQ[
V ]
=:q1
Naïv würde man erwarten, dass der faire Preis einfach E[ V ] beträgt, wobei die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten
für die Marktzustände ωi benutzt werden. Obige Gleichung zeigt allerdings, dass der
a1,2
=:q2
a0,2