Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 1. DAS EIN-PERIODEN-MODELL 11
Theorem 1.11 (Risikoneutrales Bewertungsprinzip). Ist das Ein-Perioden-Modell arbitragefrei,
dann ist der Wert eines Contingent Claims X zu t = 0 gegeben durch EQ[X/B1], wobei Q ein
beliebiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Beweis. Folgt sofort aus Lemma 1.9.
Beispiel 1.12 (von früher). Es sei r = 1
9 , S0 = 5, S1(ω1) = 20
3 , S1(ω2) = 40
9 . Also S1(ω1) = 6 und
S1(ω4) = 4. Als risikoneutrales Maß haben wir bereits Q(ω1) = Q(ω2) = 1
2 bestimmt.
Betrachte einen Claim X mit X(ω1) = 7 und X(ω2) = 2. Nach obigem Theorem ist der Preis dieses
Claims
V0 = EQ[ X
B1
] = 1
2
· 7
10
9
+ 1
2
· 2
10
9
= 81
= 4.05
20
Die replizierende Handelsstrategie H bestimmt sich folgendermaßen, indem V1 = V0 + G benutzt wird:
X(ωi)/B1(ωi) = V1(ωi) = V0 + G(ωi) = 4.05 + H1∆ S1(ωi) für i = 1, 2.
Wir haben also 2 Gleichungen, die beide denselben Wert für H1 liefern:
ω1 :7 · 9 81
=
10 20 + H1 · 1 ⇒ H1 = 45
= 2.25
20
ω2 :2 · 9 81
=
10 20 + H1 · (−1) ⇒ H1 = 81 36 45
− = = 2.25
20 20 20
Die Tatsache, dass beide Gleichungen denselben Wert für H1 liefern ist nicht weiter verwunderlich, immerhin
wurde V0 so bestimmt. Insofern war die Benutzung der zweiten Gleichung nur als Kontrolle
notwendig. H0 ergibt sich nun als
4.05 = V0 = H0 + H1S0 = H0 + 2.25 · 5 ⇒ H0 = 81 225 −144
− = = −7.2
20 20 20
Der Claim X ist also durch die Handelsstrategie H = (−7.2, 2.25) erreichbar.
Als Kontrolle können wir den Wert dieser Handelsstrategie zu t = 0 und zu t = 1 berechnen:
t = 0 : V0 = −7.2+ 2.25 · 5 =4.05
t = 1 : ω1 : V1(ω1) =−7.2 · 10 20
+2.25 ·
9 3 =7
ω2 : V1(ω2) =−7.2 · 10 40
+2.25 ·
9 9 =2
Der faire Preis dieses Claims X muss nun nach obigem Theorem genau V0 sein, ansonsten wäre ein
risikoloser Gewinn möglich.
Definition 1.14 (Zustands Claim, Zustandspreis). Für ω ∈ Ω wird der Contingent Claim X,
der nur im Zustand ω genau 1 Geldeinheit auszahlt, in allen anderen Zuständen jedoch nichts, also
1 für ω = ω
X(ω) =
0 sonst,
als Elementar-Claim“ bzw. Zustands-Claim“ des Zustandes ω bezeichnet. Sein Preis (wenn er
” ”
erreichbar ist) ist
EQ[X/B1] =
Q(ω)X(ω)/B1(ω) = Q(ω)/B1(ω)
ω∈Ω
und wird als Zustandspreis für ω ∈ Ω bezeichnet.
Der Preis V0 jedes Contingent Claims kann als Linearkombination der Payoffs X(ω) mit den Zustandspreisen
als Gewichten dargestellt werden (da die Zustandspreise genau die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
beinhalten).