Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 29
Dieses redundante Gleichungssystem von drei Gleichungen für (x1, y1) besitzt die eindeutige Lösung
x1 = −22.5, y1 = 0.625. Der Preis (rechte Seite des GS) wurde genau so bestimmt, dass diese Gleichungen
eine Lösung besitzen.
Analog kann nun zu jedem Zeitpunkt t − 1 das Portfolio (xt, yt) ausgehend von der momentanen Position
im Gitter bestimmt werden:
− 45
2
5 , 8
27.5
85 95 − 2 , 120
5 1 − 2 , 8
2.5
52.5
(−80, 1)
1 −5, 6
Proposition 6.3. Betrachte einen Claim X = Φ(ST ). Dieser kann durch ein selbstfinanzierendes
Portfolio erreicht werden. Bezeichne Vt(k) den Wert am Knoten (t, Nt
rekursiv bestimmt werden
= k). Dann kann Vt(k)
VT (k) = Φ
T
(0, 0)
0
100
S0 u
t=1
Xt
t d 1−Xt
t
Vt(k) = e −rt [qu,tVt+1(k + 1) + qd,tVt+1(k)]
mit dem Martingalmaß Q aus (6.2). Das replizierende Portfolio (xt, yt) ist gegeben durch
xt(k) = e −rt [utVt(k) − dtVt(k + 1)] /(ut − dt)
yt(k) = 1
[Vt(k + 1) − Vt(k)] /(ut − dt)
St−1
6.4 Europäische Call-Option im Binomialmodell
Betrachte ein Wertpapier im CRR Modell, d.h. seien rt = r, ut = u und dt = d konstant (unabhängig von
t) und bezeichne Nt = t n=1 Xt die Anzahl der up“-Bewegungen bis zum Zeitpunkt t. Der Aktienkurs
”
beträgt damit St = S0uNt dt−Nt , der diskontierte Aktienkurs ist St = St/Bt = e−rtS0uNt dt−Nt .
Unter Q hat Nt (und damit auch St bzw. St) eine Binomial-Verteilung
Q St = S0u k d t−k
t
= q
k
k (1 − q) t−k , k ∈ {0, . . . , t} , t = 1, . . . , T .
Der betrachtete Claim sei eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K zum Zeitpunkt T , der
Payoff lautet also h = (ST − K) + . Nach der bisherigen Theorie ist der arbitragefreie Preis C0 von h zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben durch
C0 = EQ
e −rT (ST − K) +
= EQ
ST − e −rT
+
K .
5
190
10
0
0