Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMIALMODELL: DAS BLACK-SCHOLES MODELL 41
mit d2 = 1
σ √
− log
T
e−rT K
S0
− √ T d2
1 − 2σ2
T = 1
σ √
log
T
S0
e−rT 1 − K 2σ2 T . Daher gilt
C = EP ′
S0 exp σWT − 1
2 σ2
T − e −rT
+
K
∞
= S0 exp σy − 1
2 σ2
T − e −rT +
1
K √ exp −
2πT 1 y
2
2
dy
T
x =
=
y
√
T
dx = dy
∞
= S0
√ T
−d2
=
z = σ√
T − x
dz = −dx = S0
1
√ exp σx
2π √ T − 1
d2+σ √ T
mit d1 = d2 + σ √ T = 1
σ √ S0 log
T e−rT 1 + K 2σ2 T .
N (0,T )
2 σ2T − 1
2 x2
dx −
=− 1
2(x−σ √ T) 2
∞
1
√ exp −
−∞ 2π 1
2 z2
dz −Ke
Φ(d1)
−rT Φ(d2)
−rT 1 x2 −
Ke √ e 2 ds
−d2 2π
Ke−rT (1−Φ(−d2))=Ke−rT Φ(d2)
Ergebnis 1 (Black-Scholes-Formel). Der Preis einer europäischen Call-Option im Black-Scholes Modell
ist
C = S0Φ(d1) − Ke −rT Φ(d2)
mit
d1 = 1
σ √
T
d2 = 1
σ √ T
log
log
S0
e−rT 1
−
K
2 σ2
T
S0
e−rT 1
+
K 2 σ2T Bei dieser Formel ist nicht so sehr der genaue Wert von d1 und d2 (symmetrisch um log
vielmehr die allgemeine Form interessant.
.
S0
e −rT K
!), als