Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 6. DAS BINOMIALMODELL 31
1. P(2NT − T = i) = P NT = 1
2 (i + T ) = T T +i
T −i
T +i p 2 (1 − p) 2 , wenn i = T, T − 2, T − 4, . . . ,
2
ansonsten 0
2. P(2NT − T > i) = T
n=n ∗
T
n
n T −n ∗ T +i
p (1 − p) mit n = min i ∈ R, i > 2
3. Dieser Fall ist komplizierter, da aus der Bedingung für T nicht auf das Maximum geschlossen
werden kann. Allerdings werden wir feststellen, dass eine Dualität mit den Pfaden aus Fall 2 besteht,
insbesondere eine Bijektion zwischen den Pfaden in 2 und 3:
Betrachte also einen beliebigen Pfad P ∗ in 3. Er erreicht nach Definition den Wert S0u i , weshalb
τi < T gilt. Der Pfad P , der bis zu τi mit P ∗ übereinstimmt und ab dann an S0u i gespiegelt ist
(siehe Grafik 6.1), erfüllt 2NT − T > i und liegt daher in 2. Außerdem ist er eindeutig (also die
Abbildung injektiv). Auf dieselbe Art können wir jedem Pfad aus Fall 2 einen Pfad aus Fall 3
zuweisen, womit wir eine Bijektion zwischen Fall 2 und 3 haben. Insbesondere hat Fall 2 gleich viele
Pfade wie 3.
Τi
1 2 3 4 5
Abbildung 6.1: Das Reflektionsprinzip: Ab der Stoppzeit τi wird der Pfad am Level S0u i gespiegelt. Damit
erhalten wir eine Bijektion zwischen Pfaden in 2 und 3.
Betrachte nun einen Pfad aus 2 mit NT = n ≥ n ∗ . Seine Wahrscheinlichkeit ist p n (1 − p) T −n und
es gibt T
derartige Pfade, die bei n enden. Sein Partnerpfad aus 3 endet bei NT = T + i − n
n
(symmetrisch unter der Schranke (T +i)/2) und hat daher die Wahrscheinlichkeit pT +i−n (1−p) n−i .
Auch hier gibt es genau T
n verschiedene derartige Pfade wegen der Dualität.
Damit erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten
T
P((2NT − T < i) ∧ (NT = T + i − n) ∧ (τi < T )) = p
n
T +i−n (1 − p) n−i
T
T
P((2NT − T < i) ∧ (τi < T )) = p
n
T +i−n (1 − p) n−i
n=n ∗
Insgesamt erhalten wir also genau den Ausdruck im Lemma.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Maximums wird z.B. benötigt für
• Knock-Out/-In Optionen: Dieser Typ von Optionen zahlt nichts (oder nur dann) aus, wenn der
Kurs irgendwann eine bestimmte Schranke über- oder unterschreitet.
• Lookback-Optionen: Payoff h ist abhängig vom Maximum (oder Minimum) des Kurses in einem
Zeitintervall. Z.B. das Recht, zu T die Aktie zum höchsten Kurs YT bis zu diesem Zeitpunkt zu
verkaufen. Für die Bewertung wird damit die genau Verteilung des Maximums sowie des Kurses
benötigt.