Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 8. GRENZÜBERGANG IM BINOMIALMODELL: DAS BLACK-SCHOLES MODELL 39
Betrachte den diskontierten Aktienpreis nach m Schritten der Größe T
m :
Sm = S0 e −rT
(e−rm )m
u Nm
m d m−Nm
m = S0e −rT
exp
einfügen
= S0e −rT exp
Nm −
Nm
= P log
Xi
um
+ m log dm
dm
E[Nm]
mq
mq(1 − q)
√ Var Nm
=:N
∗ m ... ZV
√ um
m q(1 − q) log + mq log
dm
(△)
um
+ m log dm
dm
()
Die einzelnen Terme berechnen sich durch Einsetzen der Definitionen und der Taylor-Approximation zu
(△) = √
β α
T 1
T 1
m
(α + β) − (α + β)(α − β) + O
α + β α + β
m 2 m m3/2 =
√T 1 T 1
αβ − (α − β) √ + O
2 m m
σ
Insgesamt also
() = mq log um
+ m log dm = mq log um + m(1 − q) log dm
dm
mq log um = rT q + qα √ T m − α2
1
qT + O √m
2
m(1 − q) log dm = rT (1 − q) − β(1 − q) √ T m − 1
2 β2
1
(1 − q)T + O √m
Sm = S0 exp(−rT ) exp
− T
2
N ∗
√T 1
mσ −
2
α 2 q + β 2 (1 − q) + O
T 1
(α − β) √ + O
m
1
√m
m
+ rT + √ T m (qα − β(1 − q))
= S0 exp N ∗ mσ √
1
T 1 + O √m + √
αβ βα
T m − −
α + β α + β
=0
T
2 α β
2 α + β + β2
α
α + β
=αβ α+β
α+β =σ2
1
+O √m
= S0 exp N ∗ mσ √
1
T 1 + O √m − T
2 σ2
1
+ O √m
Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt N ∗ m
√
∗
T Nm Außerdem gilt N ∗ mσ √
1 T O √m
1 + O √m
Insgesamt
N ∗ mσ √ T
1 + O
Sm
w
−−−−→
m→∞ W1 ∼ N (0, 1). Daher
w
−−−−→
m→∞ WT ∼ N (0, T ) .
2
L ,P
−−−−→ 0 und daher
m→∞
1
√m
+ O
1 w
√m −−−−→
m→∞ σWT
w
−−−−→
m→∞ S0
exp σWt − 1
2 σ2
T
Korollar 8.3. Der diskontierte Preis zur Zeit t im skalierten Binomialmodell mit m Zeitschritten der
Größe T
m konvergiert schwach (bzw. in der Verteilung) gegen die geometrische Brown’sche Bewegung
S0 exp σWt − 1
2σ2 T zur Zeit T .
(8.1)