Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

Kapitel 7
Markov Modelle
Dieser Abschnitt hält sich in groben Zügen an [Pli97] und [Sch02], für tiefer gehende Theorie zu Markov-
Ketten, siehe [Wil91].
Sei (E, E) der Zustandsraum (messbar) und (Ω, F, {Ft} t∈I , P) mit I ⊆ R ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 7.1. Ein adaptierter stochastischer Prozess {Xt}, Xt : Ω → E, ist ein Markov-Prozess
bezüglich der Filtration {Ft} t∈I , wenn
P (Xt+1 = j|Ft = σ(X1, . . . , Xt)) = P (Xt+1 = j|Xt) ∀j ∈ E, ∀t ∈ I .
(⇔ P (Xt+s = j|Ft) = P (Xt+s = j|Xt) ∀s
(⇔ ∀s, t ∈ I, s < t : P (Xt ∈ F |Fs) = P (Xt ∈ F |Xs) P-f.s.∀F ∈ E) (7.1)
Bemerkung 7.1. Die Relation (7.1) wird Markov-Eigenschaft genannt.
Interpretation. Die Zukunft Xt hängt von der Vergangenheit (Fs) s≤t nur durch den momentanen Zustand
Xs ab, nicht durch den gesamten bisherigen Verlauf σ(X1, . . . , Xs).
Definition 7.2 (homogener bzw. stationärer Markovprozess). Ein Markov-Prozess heißt homogen
oder stationär, wenn
P (Xt+u ∈ F |Xt) = P (Xs+u ∈ F |Xs) ∀s, t ∈ I∀u .
Die Übergangswahrscheinlichkeiten für einen Zeitschritt können dann als Matrix P dargestellt werden
mit Einträgen
P(i, j) = P(Xt+1 = j|Xt = i), i, j ∈ E .
Die Übergangswahrscheinlichkeiten für n Zeitschritte ergeben sich als die Einträge der n-ten Matrixpotenz
von P: Pi,j(n) = (P n ) i,j .
Beispiel 7.1. Der Random Walk Sn = Y1 + Y2 + · · · + Yn = Sn−1 + Yn mit (Yi)i∈R unabhängige identisch
verteilte Zufallsvariablen ist ein (homogener) Markovprozess.
Lemma 7.1. Die Markoveigenschaft (7.1) ist äquivalent zu EP[g(Xt)|Fs] = EP[g(Xt)|Xs] P-f.s. für
alle E-messbaren Funktionen g : E → R, die beschränkt oder nicht-negativ sind.
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