Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 9. AMERIKANISCHE OPTIONEN IM DISKRETEN MODELL 45
Lemma 9.5 (Doob’sche Zerlegung). Jedes Supermartingal {Ut} t≤T hat die eindeutige Zerlegung
Ut = Mt − At
mit einem Martingal {Mt} und einem nicht-fallenden, vorhersagbaren Prozess {At} mit A0 = 0.
Beweis. Für t = 0 gilt M0 = U0, A0 = 0. Definiere nun rekursiv
⇒ Mt+1 − At+1 = Mt − At + Ut+1 − Ut = Ut+1
Mt+1 = Mt + Ut+1 − E[Ut+1|Ft]
At+1 = At + (Ut − E[Ut+1|Ft])
Wie leicht zu sehen ist, ist Mt+1 ein Martingal und At+1 ist nicht fallend, weil {Ut} t≤T ein Supermartingal
ist.
Sei nun Ut = Mt − At, t ∈ {0, . . . , T } eine andere Zerlegung. Dann ist Mt = Mt − Mt = At − At ein
vorhersagbares Martingal mit M0 = 0.
Da vorhers.
Mt = E[ Mt|Ft−1] Mart.
= Mt−1, ist Mt = 0 für alle t und die Zerlegung ist eindeutig.
Theorem 9.6. Die größte optimale Stoppzeit τmax für einen adaptierten Prozess {Zt} t≤T ist
τmax =
mit der Doob’schen Zerlegung Zt = Mt − At.
Beweis.
T, wenn AT = 0
inf {t|At+1 = 0} sonst
1. A ist vorhersagbar ⇒ τmax ist eine Stoppzeit (folgt aus der Definition)
2. Aτmax = 0 ⇒ U τmax = M τmax ⇒ Die gestoppte Schnell’sche Einhüllende ist ein Martingal
3. Optimalität: Zu zeigen ist Uτmax = Zτmax f.s.
Es gilt
Uτmax =
T −1
T −1
1 {τmax=j}Uj + 1 {τmax=T }UT = 1 {τmax=j} max {Zj, E[Uj+1|Ft]} + 1 {τmax=T }UT
j=0
j=0
Nach der Definition ist Mt − At+1 = Mt − At − Ut + E[Ut+1|Ft] = E[Ut+1|Ft], sowie Aj+1 > 0 in
der Menge {τmax = j} = {Aj = 0, Aj+1 > 0}. Daher
E[Uj+1|Fj] = Mt − At+1 < Mt = Mt − At = Ut
Def. von
=⇒
Snell Env. Ut = Zt
T −1
⇒ Uτmax = 1 {τmax=j}Zj + 1 {τmax=T }ZT = Zτmax
j=0
4. τmax ist die größte Stoppzeit: Annahme, es gäbe eine Stoppzeit τ ≥ τmax mit P(τ > τmax) > 0.
Dann gälte
E[Uτ ] = E[Mτ ] − E[Aτ ] = E[U0] − E[Aτ ] < E[U0] .
>0
Damit wäre {Ut} t≤T kein Martingal und aufgrund dieses Widerspruchs ist τmax die größte Stoppzeit.
(9.1)