Numerik

1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 2.Ist1+vA1u6=0,dannist(A+uv)1=A1A1uvA1 1.A+uvregular()1+vA1u6=0 1+vA1u 11
Beweis: 3.det(A+uv)=det(A)(1+vA1u)
2.det(A+uv)=det(A)det(I+A1uv),aberwasistdet(I+A1uv)? 1.und2.:(A+uv)A1u=u+uvA1u=(1+vA1u)u)1+vA1u=0)A+uvsingular.
v?=fxjvx=0g:8x2v?:(I+A1uv)(x)=x)=1ist(n-1)-facherEigenwert Sei1+vA1u6=0:
1.Fall:vA1u=0)=1istn-facherEigenwert(DieDeterminateistdasProduktder (A+uv)A1A1uvA1 (I+A1uv)A1u=A1u+A1u(vA1u)=(1+vA1u)A1u 1+vA1u=I+uvA1uvA1 =I+uvA1uvA1=I 1+vA1uuvA1uvA1 1+vA1u=
Beispiele: Seienu;v6=0;1+vu6=0und(I+uv)1=Iuv 1.Permutationsmatrizen: 2.Fall:vA1u6=0)=1ist(n-1)-facher,und=vA1usinddieEigenwerte. Eigenwerte).
PrsentstehtausderEinheitsmatrix,indemderr-teSpaltenvektormitdems-tenSpaltenvektor vertauschtwird. ei=(0;:::;0;1;0;:::;0)T:Prs:=(e1;:::;er1;es;er+1;:::;es1;er;es+r;:::;en) 1+vu
Prs:=0B@1...0 1... 0...1 1 1 2.Gau(Frobeniusmatrizen):u=(0;:::;0;uk+1;:::;un)T Prs=I(eres)(eres)T;eres=(0;:::;0;1;0;:::;0;1;0;:::;0) PrsAvertauschtsomitdieZeilenrundsinderMatrixA)P2rs=I;PTrs=Prs W=(eres)(eres)T;Wrr=1;Wrs=1 CA
ueTk=0B@0.0 uk+1 uk . 1CA(0;:::;0;1;0;:::;0)=0B@0 0:::0uk0:::0 0:::0uk+10:::0 . 0 . ... ::: 0 0.
. 1CA