Numerik

1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 3. kAxk2=Xi0B@Xjaijxj21CAXi0B@0@Xjjaijj21A120@Xjjxjj21A121CA2= 7
=XiXjjaijj2Xjjxjj2=Xi;jjaijj2kxk2 )kAxk20@Xi;jjaijj21A12 |{z}
Frage: Aber:Ix=xIdentitat,dannmufurjedeMatrixnormgelten kIxk kxk=1jedochkIkf=pn6=1 (Frobeniusnorm)kxk2 =:kAkf
WasistdiezureuklidischenNormgehorendenaturlicheMatrixnorm? hermitisch(fallsK=Rsymmetrisch),positivdenit)91:::n0(Eigenwerteiund Eigenelementeui:Aui=iui) U=(u1;:::;un);hui;uji=ij;U1=U: 0kAxk2=hAx;Axi=hAAx;xi(AA)=AA=AA
)hAAx;xi=hAAUUx;UUxi=hDUx;Uxi UAAU=diag(1;:::;n)=D
Satz1.2.7: Wirzeigennoch:kAk2=p(AA)istdieSpektralnorm Danngilt: kAxk2max ijij:=(AA)SpektralradiusvonAA )1kxk2hAAx;xinkxk2
Beweis: 1.kAkseizukxknaturlich,d.h.Ax=x;2(A)=falleEigenwertevonAg,kxk=1 2.IstAhermitesch,soist(A)=kAk2 1.IstkkeinenaturlicheMatrixnormaufKnn,soist(A)kAk8A2Knn 3.8A2Knn8>09kknaturlicheMatrixnormaufKnnmitkAk(A)+
2.Ahermitesch:kAk2=(AA)12=(A2)12=(A)
jj=jjkxk=kAxkkAkkxk=kAk