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2NICHTLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME MitA:=f0(^x);B:=Gk+1f0(^x))A+B=Gk+1 Damitgiltfurgroek: )f(xk+1)=Gk+1(xk+1xk)Gk+1!f0(^x) kf0(^x)1kkGk+1f0(^x)k12 43 Damitgilt DamitgiltnachdemStorungssatz,daA+B=Gk+1regularistundkG1 kA1kkBk12
Beispiel:Bk=(b1k;:::;bnk);bjk:=f(xk+hkej)f(xk) 2NICHTLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME Esgilt:limk!1kBkf0(^x)k=0isthinreichendeBedinungfur1.ausdemSatz4.1. Bemerkung4.2: hk ;j=1;:::;n;hk!0 44 Dieslegtnahe: Seinunn=1: 2.BestimmeeinUpdatevonBk,d.h.ndeBk+1 1.Berechnexk+1=xkB1 heitdannQuasi-Newton-Gleichung. kf(xk) Bk+1(xk+1xk)=f(xk+1)f(xk) xk+2=xk+1B1 k+1f(xk+1)=xk+1xk+1xk Bk+1=f(xk+1f(xk) xk+1xk Satz4.3: Seif2C2[a;b];^x2(a;b)einfacheNullstellevonf.Danngilt: Sekantenverfahren: xk+1=xkxk1xk f(xk1)f(xk)f(xk) f(xk+1)f(xk)f(xk+1) Beweis::=max[a;b]jf00(x)j;>0so,da 9>0:I:=[^x;^x+][a;b];8x0;x12Igilt: 1.Behauptung:12jf0(^x)jjf0(x)j8x2I 9fckg;ck2R+;ck!0vonderOrdnung=1+p5 xk+1=xkxkxk1 jf0(^x)jjf0(x)jjf0(^x)f0(x)jj^xxj f(xk)f(xk1)f(xk)2I8k 12jf0(x)j 2mitjxk^xjck8k 2.Behauptung:jxk+1^xj12jxk^xj8xk2I Angenommen:xk1;xk2I;xk16=xk: xk+1^x=xk^xxkxk1 f(xk)f(xk1)f(xk)= 12jf0(x)j MWS =(xk^x)f(xk)f(xk1) =(xk^x)1 =(xk^x)1 f0(k)f(xk)f(xk1) f0(k)1 f(xk)f(xk1)(xkxk1)f(xk) Z0f0(xk1+t(xk1xk))f0(^x+t(^xxk))dt xkxk1f(xk)f(^x) (f(xk)f(xk1))(xk^x)= xk^x=
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