Numerik

1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME Bemerkung1.4.3: a11=det(A1)=r11;a122=det(A2) det(A1)=r22;:::;ak1 kk=det(Ak) det(Ak1)=rkk 17
ii)DieL-R-Zerlegung(Doolittle,Crout)isteindeutig,fallsAregular,dennsindL1R1undL2R2zwei i)EinesolcheZerlegungmitlii=18i=1;:::;nheitauchDoolittle-Zerlegung.EineL-R-Zerlegung solcheZerlegungen,d.h.L1R1=L2R2=A mitrii=18i=1;:::;nheitCrout-Zerlegung.
Beweis:Ahermitesch)Akhermitesch.x=(x1;:::;xk;0;:::;0)T undliefertdieDoolittle-Zerlegung. Corollar1.4.4: SeiA2Knnpositivdenit,soistdasGauscheEliminationsverfahrenohnePivotisierungdurchfuhrbar )L1R1R1 2=L2)R1R1 |{z} ODM=L1 2|{z}
UDM)R1R1 1L2 2=L1 1L2=I)R1=R2undL1=L2
1.4.1Tridiagonalmatrizen Denition1.4.5: 01 Problem:FindeeineL-R-ZerlegungA=0B@v1w1
u2...... 0......wn1 unvn1CA 0
L=0B@1 (LR)ij=nXk=1likrkj=min(i;j) l2... 0...... ln11CAR=0B@r1w1 0Xk=1
0...... ...wn1 rn1CA 0
A=LR()v1=r1;vi=liwi1+ri;ui=liri18i=2;:::;n
(LR)i(i1)=liri1(LR)ii=liwi1+ri(LR)i(i+1)=wi ji2;jk+2likrkj=0jijj>1 i