Numerik

1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME r:=t 2(x)2;(1+2r)uij+1rui+1j+1rui1j+1=(12r)uij+rui+1j+rui+1j8i=1;:::;N1 0B@1+2rr r...... ......r 0 19
0=0B@12rr 0r...... r1+2r1CA0B@u1j+1 ......r r12r1CA0B@u1j 0uN1j+11CA=
.
BeispielmitDaten: Seiu0(x)=sin(x);=1undr=t BeiN=20ergebensicht=12(x)2=1;x=1N;t=2
uN1j1CA+0B@0.0 .
i)g(i)08i 200;T=0;125;j=100 N2r(gj+gj+1)1CA
Satz1.5.1: SeiA2Rnnsymmetrischundpositivdenit.DannbesitztAeineeindeutigeZerlegungA=LLTmit einerunterenDreiecksmatrixLundpositivenDiagonalelementen. 1.5Cholesky-Zerlegung ii)g(i)=0j50 1j>50
DaD>0istD12:=(pdii)unddeniere~L:=LD12)A=~L~LT(Eindeutigkeitklar) Berechnung: Beweis:Wirwissenbereits,daAeineeindeutigeL-R-Zerlegung(lii=1)besitzt: LR=A=AT=RTLT)R(LT)1 |{z} (aik)=kXj=1lijlkj=k1 ODM=L1RT |{z} UDM)R(LT)1=D)R=DLT)A=LDLT
Seii>k: Seii=k: akk=k1 Xj=1l2kj+l2kk)lkk=0@akkk1 Xj=1lijlkj+liklkk
lik=aikk1 lkk
j=1lijlkj P Xj=1l2kj1A12