Numerik

2NICHTLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME 2NichtlineareGleichungssysteme GegebenisteineFunktionf:Rn!Rn.Gesuchtsinddie^x2Rnmitf(^x)=0.DielinearenFallesind dieFunktionenf(x)=Axb. AnsatzzueinerStrategie: 35
UnsereErwartungist:xk!^x Beispiel: GesuchtistdieWurzelvona,d.h.f(x)=x2a.Deniere: F(x):=12x+axxk+1=12xk+axk xk+1=F(xk);k=0;1;2;:::
Newton-Verfahren: f(x)=x2a;y=f(xk)+f0(xk)(xxk)!=0()x=xkf(xk) )^x=12^x+a^x()^x2=12^x2+12a()^x2=a
Probleme: 1.ExistierteineLosung^x:f(^x)=0? 2.WiebestimmtmanzugegebenemfeineIterationsfunktionFderart,daF(^x)=^x? |{z} F(xk)=xk+1 f0(xk)
3.UnterwelchenVeraussetzungenanf;Fkonvergiertdiedurchxk+1=F(xk)denierteFolgegegen
X=(Rn;kk);F:DX!X,sodagilt Satz1.1(BanachscherFixpunktsatz): 2.1Konvergenzsatze 4.Wieschnellkonvergiertxkgegen^x? ein^x?HangtdieKonvergenzvonderWahldesStartwertesx0aboderistsiedavonunabhangig?
Danngilt: iii)9L2(0;1):kF(x)F(y)kLkxyk8x;y2D(FisteineKontraktionaufD) ii)F(D)D 1.fxkgmitxk+1=F(xk)8k2N0konvergiertfurjedesx02Dgegen^x2D:F(^x)=^x i)D6==0abgeschlossen
2.A-priori-Abschatzung: (^xisteindeutigerFixpunktvonF) kxk^xkLk 1Lkx1x0k8k