Numerik

2NICHTLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME jxk+1^xj=jxk^xj2 jxk^xj2 jf0(^x)j1 jf0(^x)jjxk1^xj Z0jxk1^x+t(xk1^x)jdt= |{z}12 45
d.h.esliegtsuperlineareKonvergenzvor. xk!^x;c:=jf0(^x)j.Damitfolgt c=jf0(^x)j12;jxk+1^xjcjxk^xjjxk1^xj 12jxk^xj
Setzee=max(e0;e1).Danngilt Setzef0=1;f1=1undfk+1=fk+fk1.Danngilt e2e0e12;e3e1e23;:::;ekfk ek=cjxk^xj)ek+1ekek1
Nochzuzeigen: Beweis: ck+1 ckcund:=12(1+p5) ck+1 jxk^xj1cfk
ck=1cfk+1 1cfk=fk+1fk |{z} =:ck8k
Bezeichnung: x+=xB1f(x);x+$xk+1 Rang-1-VerfahrennachBroyden fk=1 p5(k+1()k+1)(zeigedurchInduktion)
Problem:BestimmeB+$Bk+1)lim
k!1fk+1fk=0)Beh.
Ansatz: B+isteineRang-1-KorrekturvonB:B+=B+uvTmitu;v2Rn Wirwissen:IstBregular,dannistB+genaudannregular,wenn:=1+vATB1u6=0 IndiesemFall: B1 +=B11B1uvTB1