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1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME Denition: EinVektorx+heitPseudonormalenlosungdesProblems(P)(bzw.Ax=b),wennkx+k2kxk2fur DerVektor allex2L Folgerung1.7.7: 29 istPseudonormalenlosungdesProblems(P). Beweis: k~xk2=k^x+nX i=r+1zivik2=k^xk2+nX ^x=rXi=11idivi Bemerkung1.7.9: Dieseistcharakterisiertdurchx+2L\ker(A)? Satz1.7.8: EsgibtgenaueinePseudonormalenlosungx+desProblems(P). i=r+1jzij2kvik2k^xk2 1.DiePseudonormalenlosungx+von(P)istdieLosungvon(P)mitminimalerNorm. 1.7.3DiePseudoinverse 3.mn:rg(A)=n=rg(ATA);ATAx=ATb)x=(ATA)1ATb;Ainjektiv,(ATA)1ATist 2.m
1LINEAREGLEICHUNGSSYSTEME Beweis: 1.Existenz:A=UVT;B:=V~UTmit~=(iij)2Rnm i:=1ii6=0 0sonst 30 ~=0B@1 0...r01CA0B@11 0 0...1r001CA=0B@1 0...10 Analogzeigtman,daBA=(BA)TundBAB=B. Eindeutigkeit:ChabedieselbenEigenschaftenwieB: ABA=UVTV~UTUTVT=U~=UVT=A AB=UVTV~UT=U~UT=(U~UT)T=(AB)T01CA 2.b2Rm B=BAB=BABAB=BBTATAB=BBTATAC= =BACAC=BAATCTC=ATBTATCTC= )P2=A+AA+ |{z} )A+=V~UT=V+UT;P:=A+A;PT=P Bb=V~UTb=rXi=11i(UTb)ivi=A+b)B=A+ =ATCTC=CAC=C =A+A=A+A=PundP=AA+;PT=P;P2=P)P;PsindOrthoprojektoren. im(P)=ker(P)?;ker(P)=ker(A+A)ker(A)=ker(AA+A)ker(A) Esgilt Folgerung1.7.12: analogfurP: im(P)=im(AA+)im(A)=im(AA+A)im(AA+))im(P)=im(A) )ker(P)=ker(A))im(P)=ker(A)? Bemerkung1.7.13: 1.(a)n=m:rg(A)=n=m)A+=A1 (b)mn:rg(A)=n;Ainjektiv)ker(A)=f0g ker(A)?=Rm;A+A=I;A+istLinksinverse,A+=(ATA)1AT (A+)+=A;(A+)T=(AT)+ (c)m
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Beim=3bekommtmanfolgendeHessenbergm
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