Numerik

2NICHTLINEAREGLEICHUNGSSYSTEME =2kf0(^x)1knkf0(^x)1kkf0(^x)kkf0(x)f0(^x)k+ +2kf0(^x)1k1 Z0kf0(^x)+t(x^x)f(^x)kdtkx^xk= 41
LineareKonvergenz:Daf0stetigin^xex.ein2[a;b]mit(x)128x2B(^x) )kF(x)^xk12kx^x2k28x2Bx(^x) =:(x)kx^xk +1 Z0f0(^x)+t(x^x)f(^x)dtokx^xk=
Betrachtejetztxk+1=F(xk)
2.Esgilt: )superlineareKonvergenz,daf0stetigin^x d.h.esliegthiermindestensquadratischeKonvergenzvor. )kxk1^xk=kF(xk^x)kkxk^xk:::12kkx0xmk
kF(x)^xk=Mkx^xk2)xk!^xmitmind.quadratischerKonvergenz (x)2Lkf0(^x)1kcondf0(^x)+1kx^xk=:Mkx^xk (^xk)!0(k!1)
Bemerkung3.2:
Vereinfachungen: 2.DerAufwandbeimNewton-Verfahrenistgro,wenninjedemSchrittdieJacobi-Matrixnumerisch 1.Satz3.1isteinlokalerKonvergenzsatz,d.h.ohneKenntnisderNullstelle^xkannB(^x)(Gebietder rungenangewiesen.KonvergenzausSatz3.1)imallgemeinennichtbestimmtwerden.ManistalsoaufAnfangsnahe- 1.Ersetzef0(xk)1durcheinefesteMatrixB1,z.B.B=f0(x0)unditerieremitderkonstanten bestimmtwerdenmu.
2.xk+1=xk+pk)Newton-Verfahren:pk:f0(xk)pk=f(xk)(Newtonrichtung) DieAlternativebestehtdarin:Bestimmepkso,da (lokallineareKonvergenz,fallsx0nahebei^x) Matrix(vereinfachtesNewton-Verfahren)
kf(xk)+f0(xk)pkkkkf(xk)kk2(0;1);>0 xk+1=xkB1f(xk)
Konvergenzerhalten.NachzulesenbeiBrown,SIAMJ.Num.Anal.(1987),(24),407-432.
InexakteNewtonverfahren(mind.lineareKonvergenz.Furk!0kannmansogarsuperlineare