Algebraische Aspekte der Logik

Zur Konjunktion, wenn sie denn einmal festgelegt ist, tritt sodann eine
weitere Verknüpfung: die Implikation →. Diese hat die folgende Bedeutung:
Für zwei durch a und b vertretene Aussagen steht a → b für die
schwächste Aussage, welche zusammen mit a stärker ist als b. M.a.W.
ist a → b das größte Element unter allen x, für das x ⊙ a ≤ b gilt.
Definition 2.3 Ein residuierter Verband [residuated lattice] ist eine
Struktur (A; ∧, ∨, ⊙, →, 0, 1), für die folgendes gilt:
(RV1) (A; ∧, ∨, 0, 1) ist ein Verband mit 0 und 1.
(RV2) (A; ⊙, 1) ist ein kommutatives Monoid; d.h. ⊙ ist eine assoziative
und kommutative zweistellige Operation, und 1 ist ein Neutrales
in bezug auf ⊙.
(RV3) ⊙ ist isoton; d.h. für a, b ∈ A mit a ≤ b gilt a ⊙ c ≤ b ⊙ c für
alle c ∈ A.
(RV4) Für a, b ∈ A ist a → b das größte Element x mit der Eigenschaft
a ⊙ x ≤ b.
Damit haben wir bereits die Mindeststruktur definiert, die wir für ein
mit Mitteln der Logik zu untersuchendes System von Aussagen voraussetzen
werden. Für mehr Informationen über residuierte Verbände
verweisen wir auf [JiTs] und die dortige Literaturliste.
Wir weisen nun auf die wichtigste Eigenschaft residuierter Verbände
hin. Es geht uns letztlich darum, Implikationen zwischen Aussagen herzuleiten,
d.h. Zusammenhänge der Form
α(a1, . . . , ak) ≤ β(a1, . . . , ak) (1)
zu bestimmen, worin α und β Terme einer Sprache sind, die diejenige
residuierter Verbände enthält, und a1, . . . , ak beliebig sind. Eine Ungleichung
läßt sich in residuierten Verbänden dank des Axioms (RV4)
aber auch anders notieren.
Lemma 2.4 Es sei (A; ∧, ∨, ∧, →, 0, 1) ein residuierter Verband. Dann
gilt für alle a, b ∈ A
a ≤ b, gdw a → b = 1. (2)
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