Algebraische Aspekte der Logik

Wir merken mit dem folgenden Lemma an, daß Distributivität bereits
aus einer der beiden Gleichungen (11) allein folgt. Für konkrete Tripel
von Elementen sind die beiden Bestandteile von (11) allerdings nicht
notwendig äquivalent.
Lemma 3.8 Ein Verband (A; ∧, ∨) ist distributiv, gdw für alle a, b, c ∈
A die erste Gleichung in (11) gilt, gdw für alle a, b, c ∈ A die zweite
Gleichung in (11) gilt.
Beweis. S. [Bir, I, Theorem 9]. ✷
Wir merken weiter an, daß man für boolesche Algebren auch einen
anderen Satz von Operationen verwenden kann. Wenn (A; ∧, ∨, ¬, 0, 1)
boolesche Algebra ist, können wir → gemäß (12) einführen; auf diese
Weise gelangen wir zur Algebra (A; ∧, →, 0). Aus letzterer gelangen
wir zur ursprünglichen mittels (10) wieder zurück. Wir werden daher in
diesem Fall sagen, daß (A; ∧, →, 0) (bis auf Definitionen) eine boolesche
Algebra sei.
Satz 3.9 Die Lindenbaumalgebra (A(KL); ∧, →, 0) von KL ist (bis
auf Definitionen) eine boolesche Algebra.
Beweis. Da KL implikativ ist, ist A(KL) mittels ≤ gemäß Satz 2.21
partiell geordnet.
Es gilt ⊢ α ∧ β → α und ⊢ α ∧ β → β; und es impliziert ⊢ γ → α und
⊢ γ → β, daß ⊢ γ → α ∧ β. Es folgt, daß [α ∧ β] das Infimum von [α]
und [β] ist. Ähnlich ist zu ersehen, daß [α ∨ β] deren Supremum ist.
Wegen ⊢ 0 → α und ⊢ α → 1 ist 0 kleinstes und 1 größtes Element von
A(KL). Also ist (A(KL); ∧, ∨, 0, 1) Verband mit 0 und 1.
Weiter läßt sich ⊢ ((γ → ¬α) ∧ (γ → ¬β)) → (γ → (¬α ∧ ¬β))
umschreiben gemäß ⊢ ((¬γ ∨ ¬α) ∧ (¬γ ∨ ¬β)) → (¬γ ∨ ¬(α ∨ β)
und weiter ⊢ (γ ∧ (α ∨ β)) → ((γ ∧ α) ∨ (γ ∧ β)). Hieraus folgt die
Distributivität.
Schließlich gilt ⊢ (α ∧ ¬α) → 0 und ⊢ α ∨ ¬α, und es gilt ⊢ (α →
β) → (¬β → ¬α) sowie ⊢ α → ¬¬α, ⊢ ¬¬α → α; daher ist ¬ auf
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