Algebraische Aspekte der Logik

Satz 2.16 Es sei (L, |=A) eine Aussagenlogik und C ein L-Kalkül.
Dann ist C für (L, |=A) stark korrekt, insbesondere also korrekt, wenn
für jede Belegung v der L-Aussagen mit Werten aus einem A ∈ A und
jede Regel α1...αk β unter v gültig ist, wenn α1, . . . , αk unter v gültig
β
sind.
Beweis. Dies ist unmittelbare Folge der Definitionen. ✷
Die eigentliche Herausforderung ist es, Vollständigkeit, oder gar starke
Vollständigkeit, zu zeigen, falls sie denn gilt. Dem sind die folgenden
Erwägungen gewidmet, die das Problem auf einer allgemeinen Ebene
erörtern. Es bezeichnet L = {⊙, →, 0, . . .} stets eine Aussagensprache.
Wir betrachten nun das Verhältnis zwischen den Strukturen, auf denen
eine Aussagenlogik beruht, und einem zugehörigen Kalkül. Wir beginnen
mit der zu einem Kalkül gehörenden Algebrenklasse.
Definition 2.17 Es sei C ein L-Kalkül. Dann heiße die Klasse aller L-
Strukturen, welche jede Gleichung α(a1, . . . , an) = β(a1, . . . , an) erfüllt,
falls in C für Aussagenvariablen ϕ1, . . . , ϕn sowohl α(ϕ1, . . . , ϕn) →
β(ϕ1, . . . , ϕn) als auch β(ϕ1, . . . , ϕn) → α(ϕ1, . . . , ϕn) beweisbar ist,
die zu C gehörige Varietät und sei als Var(C) notiert.
Um die zu einem Kalkül gehörige Varietät zu bestimmen, untersucht
man die Algebra aller Aussagen PL, indem man als äquivalent beweisbare
identifiziert. Damit dies einen Sinn ergibt, müssen jedoch gewisse
Mindestbedingungen erfüllt sein, die wir als nächstes definieren.
Wir benutzen dabei folgende abkürzende Sprechweisen: Daß ein Kalkül
C eine Aussage α beweist, heißt, daß α in C beweisbar ist. Daß in C
eine Regel α1 ... αk zulässig ist, heißt, daß, wenn C α1, . . . , αk beweist,
β
dann auch β.
Definition 2.18 Es sei C ein L-Kalkül. Wir nennen C implikativ, falls
folgende Bedingungen erfüllt sind:
(Im1) C beweist
0 → α,
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