Algebraische Aspekte der Logik

(iv) a → (b → c) = (a ⊙ b) → c.
Beweis. Wir zeigen nur (3). Aus a ⊙ b ≤ c folgt b → c = max {x :
b ⊙ x ≤ c} ≥ a. Aus a ≤ b → c folgt a ⊙ b ≤ b ⊙ (b → c), und nach
Definition von b → c ist b ⊙ (b → c) ≤ c. ✷
2.2 Aussagenlogiken und zugehörige Kalküle
Für die Definition einer Aussagenlogik ist folgendes festzulegen: (i) eine
Menge formalsprachlicher Aussagen; und (ii) diejenige Teilmenge
hiervon, die die zutreffenden Aussagen enthält. Sodann ist (iii) zu untersuchen,
welcher Kalkül die per (ii) spezifierten Aussagen liefert.
Definition 2.6 Eine aussagenlogische Sprache L besteht aus folgendem:
(i) aus abzählbar vielen Konstanten c0, c1, . . .; hierunter muß zumindest
0, die Wahrheitskonstante falsch, sein;
(ii) aus abzählbar vielen Verknüpfungen f0, f1, . . ., deren jeder eine
Stelligkeit ≥ 1 zugeordnet ist; hierunter müssen zumindest die
zweistellige Implikation → und die zweistellige Konjunktion ⊙
sein.
Wir schreiben dann L = {c0, . . . , f0, . . .}, voraussetzend, daß sich die
Stelligkeit jeder Verknüpfung versteht. Taucht hierbei ⊙ nicht auf, muß
∧ ∈ L sein und gelten ⊙ und ∧ als identisch.
Weiter legen wir eine abzählbar unendliche Menge von Symbolen ϕ0, ϕ1,
ϕ2, . . . fest, genannt Aussagenvariablen. Eine L-Aussage [proposition]
ist dann eine nach den folgenden Regeln zustande gekommene Zeichenkette:
(i) die Aussagenvariablen und die Konstanten sind L-Aussagen,
und zwar die sogenannt atomaren; (ii) ist fi eine si-stellige Verknüpfung
und sind α1, . . . , αsi L-Aussagen, so auch fi(α1, . . . , αsi ). Wir schreiben
PL für die Menge aller L-Aussagen, voraussetzend, daß sich die Menge
von Aussagenvariablen versteht.
12