Algebraische Aspekte der Logik

Lemma 2.25 Es sei C ein L-Kalkül. Dann ist eine L-Aussagen-Struktur
A in Var(C), wenn in bezug auf A alle C-Regeln die Gültigkeit
erhalten.
Beweis. Unter der genannten Bedingung gilt, daß alle beweisbaren Aussagen
unter einer Belegung mit Werten aus A den Wert 1 erhalten. Da
A ein residuierter Verband ist, folgt die Behauptung. ✷
Damit ergibt sich:
Satz 2.26 Es sei C ein implikativer L-Kalkül. Es sei V eine Varietät
von L-Aussagen-Strukturen. Es gelte:
(i) Jede der Gleichungen, die in V gelten, gilt auch in der Lindenbaumalgebra
A(C).
(ii) In bezug auf jede Belegung mit Werten aus einem A ∈ V erhält
jede Regel von C die Gültigkeit.
Dann ist V = Var(C), und A(C) ist freie Algebra in V mit ℵ0 Generatoren.
Beweis. Gemäß Lemma 2.25 folgt aus (ii) V ⊆ Var(C). Weiter bedeutet
(i), daß A(C) ∈ V, und es folgt Var(C) ⊆ V aufgrund des Satzes 2.22.
Die letzte Aussage ist ebenfalls Inhalt von Satz 2.22. ✷
Der zweite Schritt, um Vollständigkeit eines implikativen Kalküls bezüglich
einer Aussagenlogik (L, |=A) zu beweisen, besteht gemäß Satz 2.24
darin, festzustellen, ob C davon ab, ob Var(A) = Var(C) gilt. Dabei
gilt, Korrektheit des Kalküls vorausgesetzt, Var(A) ⊆ Var(C) immer;
das Problem ist, daß i.a. nicht evident ist, ob die von A erzeugte Varietät
ganz Var(C) umfaßt. Ein mögliches Vorgehen ist das folgende.
Satz 2.27 Es sei C ein für eine Aussagenlogik (L, |=A) korrekter implikativer
Kalkül. Es sei C eine Klasse von L-Strukturen mit Var(C) =
Var(C). Weiter lasse sich jede partielle Unteralgebra eines B ∈ C in ein
A ∈ A isomorph einbetten. Dann ist C bezüglich (L, |=A) vollständig.
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