Algebraische Aspekte der Logik

• Schließlich zeigen wir, daß sich aus den beiden speziellen Algebrentypen
linear geordnete BL-Algebren in gewissem Sinne vertikal
zusammensetzen lassen - mittels der im Beispiel 4.6 schon
erwähnte Konstruktion der ordinalen Summe.
4.3.1 Subdirekte Darstellung von BL-Algebren
Wenn man Algebren bestimmten Typs analysieren möchte, stellt sich
im allgemeinen als erstes die Frage, ob sich die zu untersuchende Algebra
aus einfacheren solchen zusammensetzen läßt. Speziell im Fall
partiell geordneter Algebren ist zu prüfen, ob nicht jede solche Algebra
das Produkt linear geordneter ist oder wenigstens Unteralgebra eines
solchen Produktes. Für BL-Algebren trifft dies letztere in der Tat zu,
so daß alle weitere Analyse auf linear geordnete Strukturen reduzierbar
ist.
Wenn nun eine BL-Algebra A das Produkt linear geordneter solche ist,
sollten sich die letzteren nach dem folgenden Prinzip rekonstruieren lassen.
Man bestimmt zunächst diejenigen Teilmengen von A zu finden, die
in einer der Faktoralgebren stets den Wert 1 haben; diese Eigenschaft
haben die Primfilter, die der Gegenstand der nachstehenden Definition
sind. Bildet man dann den Quotienten von A bezüglich eines Primfilters,
erhält man die korrespondierende linear geordnete BL-algebra.
Definition 4.26 Es sei (A; ∧, ∨, ⊙, →, 0, 1) eine BL-Algebra.
(i) Eine Teilmenge F von A heiße Filter, falls (α) aus a ∈ F und
a ≤ b folgt, daß auch b ∈ F ist, und (β) aus a, b ∈ F folgt, daß
auch a ⊙ b ∈ F ist.
Ein Filter F von A heiße Primfilter, falls für je zwei a, b ∈ A
entweder a → b ∈ F oder b → a ∈ F ist.
(ii) Es sei F ein Filter von A. Dann sei für je zwei a, b ∈ A
a ∼F b im Fall a → b, b → a ∈ F
gesetzt. Wir schreiben [a]F = {b ∈ A : b ∼F a} und [A]F = {[a]F :
a ∈ A}; letztere Menge heiße der Quotient von A bezüglich F .
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