Algebraische Aspekte der Logik

Für KL gilt sogar starke Vollständigkeit. Um diese zu zeigen, müssen
wir anders vorgehen als im Fall des vorstehenden Satzes 3.15.
Definition 3.16 Es sei L eine Aussagensprache, C ein L-Kalkül und Φ
eine L-Theorie. Wir setzen α ∼Φ β im Fall Φ ⊢ α → β und Φ ⊢ β → α.
Weiter sei [α]Φ = {β : α ∼Φ β} und A(CΦ) = {[α]Φ : α ∈ PL}. A(CΦ),
ausgestattet mit den von den Verknüpfungen induzierten Operationen,
heiße die zur Theorie Φ gehörige Lindenbaumalgebra von C.
Wir nennen diejenige boolesche Algebra, die aus nur einem Element
besteht - was bedeutet, daß 0 und 1 zusammenfallen -, die triviale
boolesche Algebra.
Lemma 3.17 Es sei L eine Aussagensprache, C ein L-Kalkül und Φ
eine L-Theorie. Dann ist (A(CΦ); ∧, ∨, ¬, [0]Φ, [1]Φ) eine boolesche Algebra,
die genau dann die triviale ist, wenn Φ inkonsistent ist.
Beweis. Die Abbildung A(C) → A(CΦ), [α] ↦→ [α]Φ ist offensichtlich
wohldefiniert und ein Homomorphismus. Insbesondere ist mit A(C)
auch A(CΦ) eine boolesche Algebra.
Weiter ist Φ inkonsistent, gdw Φ ⊢ 0, gdw 0 ∼Φ 1, gdw A(CΦ) die
triviale boolesche Algebra ist. ✷
Satz 3.18 Der Kalkül KL ist bezüglich (LKL, |=TmA) stark vollständig.
Beweis. Es sei Φ eine L-Theorie. Klarerweise folgt aus Φ ⊢ α auch
Φ |=TmA α.
Es gelte Φ ⊢ α. Dann ist [α]Φ ∼Φ [1]Φ, und insbesondere kann Φ nicht
inkonsistent sein. Also ist unter der Belegung v : PKL → A(CΦ), ξ ↦→
[ξ]Φ jedes ϕ ∈ Φ gültig, jedoch v(α) < [1]Φ. Da A(CΦ) zu einer Teilmengenalgebra
isomorph ist, folgt die Behauptung. ✷
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