Algebraische Aspekte der Logik

Beweis. Es sei a ein von 1 verschiedenes Element von A. Dann ist die
Menge {1} ein a nicht enthaltender Filter. Unter all den Mengen mit
dieser Eigenschaft gibt es laut Zornschem Lemma eine maximale, etwa
F .
Angenommen sei, daß F kein Primfilter sei, daß also für gewisse b, c ∈ A
weder b → c noch c → b in F sei. Es sei Fb→c = {x : x ≥ (b →
c) n ⊙ y für y ∈ F, n ∈ N} der von b → c und F erzeugte Filter und
ähnlich auch Fc→b definiert. Nach Voraussetzung enthalten sowohl Fb→c
als auch Fc→b a, womit a ≥ (b → c) n1 ⊙ y1 und a ≥ (c → b) n2 ⊙ y2
für gewisse y1, y2 ∈ F und n1, n2 ∈ N gilt. Mit y = y1 ⊙ y2 ∈ F und
n = max {n1, n2} folgt a ≥ [(b → c) n ⊙y]∨[(c → b) n ⊙y] = [(b → c) n ∨
(c → b) n ] ⊙ y. Weiter gilt gemäß Lemma 4.21 (b → c) n ∨ (c → b) n = 1.
Es folgt a ≥ y und damit a ∈ F , im Widerspruch zur Annahme. Also
ist F ein Primfilter. ✷
Definition 4.29 Es seien (Aι; ≤ι, ⊙ι, →ι, 0ι, 1ι), ι ∈ I, BL-Algebren.
Es sei
A =
ι∈I
das kartesische Produkt der Grundmengen der einzelnen Algebren, versehen
mit der folgenden Struktur. A sei gemäß
Aι
(aι)ι ≤ (bι)ι im Fall aι ≤ bι für alle ι
partiell geordnet; es seien ⊙ und → auf A gemäß
(aι)ι ⊙ (bι)ι
(aι)ι → (bι)ι
def
= (aι ⊙ bι)ι,
def
= (aι → bι)ι
erklärt sowie 0 def
= (0ι)ι und 1 def
= (1ι)ι gesetzt. Dann heiße (A; ∧, ∨,
⊙, →, 0, 1) das direkte Produkt der Algebren Aι, ι ∈ I.
Weiter sei A ′ eine BL-Subalgebra von
ι∈I Aι; dabei seien die Abbildungen
πλ : A ′ → Aι, (aι)ι ↦→ aλ für alle λ surjektiv. Dann heiße A ′
subdirektes Produkt der BL-Algebren Aι, ι ∈ I.
Satz 4.30 Jede BL-Algebra (A; ∧, ∨, ⊙, →, 0, 1) ist subdirektes Produkt
linear geordneter BL-Algebren.
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