Algebraische Aspekte der Logik

(i) Für ein A ∈ A heiße α in A gültig [valid], falls α unter jeder
Belegung mit Werten aus A gültig ist. Wir schreiben dann |=A α.
(ii) α heiße bezüglich (L, |=A) gültig, falls α in jedem A ∈ A gültig
ist. In diesem Falle gelte |=A α.
Enthält hierbei A nur eine einzelne Algebra A, schreiben wir verkürzt
|=A statt |={A}.
Man beachte, daß sich mit Übergang von A zu einer anderen Klasse
von L-Strukturen, etwa A ′ , nicht unbedingt die zugehörige Aussagenlogik
ändert: Es kann durchaus |=A = |=A ′ gelten. – Wir vergleichen
verschiedene Logiken in der folgenden Weise.
Definition 2.9 Es seien (L1, |=A1) und (L2, |=A2) Aussagenlogiken. Wir
sagen, daß (L2, |=A2) stärker ist als (L1, |=A1), falls L1 ⊆ L2 und für
jede L1-Aussagen α mit |=A1 α auch |=A2 α gilt.
Es ist klar, daß zwei Aussagenlogiken derselben Sprache im Fall, daß
jede stärker ist als die andere, übereinstimmen.
Im weiteren interpretieren wir Aussagen α, β einer aussagenlogischen
Sprache L in der naheliegenden Weise auch als L-Terme mit freien
Variablen, die mit Elementen des Grundbereiches einer L-Algebra A
belegbar sind. α = β oder, unter Erwähnung aller freien Variablen,
α(a1, . . . , ak) = β(a1, . . . , ak) nennen wir eine L-Gleichung. Daß α = β
in A gilt oder A α = β erfüllt, heißt dann α(a1, . . . , ak) = β(a1, . . . , ak)
für alle a1, ..., ak ∈ A.
Satz 2.10 Zwei Aussagenlogiken (L, |=A1) und (L, |=A2) sind gleich,
gdw A1 und A2 dieselbe Varietät erzeugen, d.h. gdw Var(A1) = Var(A2).
Insbesondere gilt für jede Aussagenlogik (L, |=A), daß |=A = |=Var(A).
Beweis. Sind (L, |=A1) und (L, |=A2) gleich, gilt eine Gleichung α = β
in allen A ∈ A1, gdw α → β = 1 in allen A ∈ A1 gilt, gdw α → β = 1
in allen A ∈ A2 gilt, gdw α = β in allen A ∈ A1 gilt; es folgt in diesem
Fall Var(A1) = Var(A2).
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