Algebraische Aspekte der Logik

(F5b) [α → (β → γ)] → [(α ⊙ β) → γ],
(F6) 0 → α,
(F7) [((α → β) → γ) ⊙ ((β → α) → γ)] → γ.
besteht sowie der Regel Modus ponens
(MP)
α α → β
.
β
Wiederum schreiben wir im weiteren einfach ⊢ statt ⊢BL.
Die Beweisregeln von BL sind recht gut mit denen von KL vergleichbar,
wenn man ⊙ als das Analogon von ∧ betrachtet. Es seien die
Unterschiede kurz skizziert.
Zum ersten ist α ⊙ β nicht mehr notwendig die schwächste α und β
implizierende Aussage. Eine solche zu definieren ist allerdings möglich,
es handelt sich um den Ausdruck α ⊙ (α → β) – s. nachfolgende Definition
4.10. Daß dieser Ausdruck tatsächlich die Funktion eines Infimums
hat, ist die Folge des neuen Axioms (F4), dessen Sinn ansonsten nicht
weiter begründbar ist.
Zum zweiten enthält die Sprache von BL keine Negation im eigentlichen
Sinne. In derselben Weise wie in KL führt man zwar ¬α ein
– s. Definition 4.10. Die neue Verknüpfung ist im Unterschied zu KL
jedoch im allgemeinen nicht involutiv. Fordert man dies, gelangt man
zum Kalkül der ̷lukasiewiczschen Logik.
Dem entspricht, daß wie in der intuitionistischen Logik das Tertium
non datur (K7) nicht gefordert ist. Dies hat hier jedoch in der mehrwertigen
Logik keinen sonderlich tiefgreifenden Hintergrund; es muß
eben nicht notwendig ein Wahrheitswert a entweder selbst oder die wie
auch immer erklärte Negation von a den Wert 1 haben. Fordert man
(K7), gelangt man gerade zur Logik KL, die Identifizierung von ⊙ mit
∧ vorausgesetzt.
Auf der anderen Seite ist in BL das Axiom (F7) neu und darf als
abgeschwächte Form des Tertium non datur angesehen werden. (F7)
reflektiert den Umstand, daß die Standard-Fuzzyaussagenlogik wahrheitswertebasiert
ist; einen tieferen Sinn in (F7) zu finden ist ansonsten
ähnlich schlecht möglich wie im Fall von (F4).
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