Algebraische Aspekte der Logik

In Hinsicht auf Gleichung (21) ist des weiteren klar, daß a → b, a →
c ≤ a → (b ∨ c). Es sei weiter a → b, a → c ≤ x für ein x ∈ A. Nach
Definition ist a → (b∨c) = max {y : a⊙y ≤ b∨c}; ist nun a⊙y ≤ b∨c,
so a ⊙ y ≤ (b → c) → c, also y ⊙ (b → c) ⊙ a ≤ c, was wiederum
y ⊙ (b → c) ≤ a → c ≤ x und weiter b → c ≤ y → x impliziert. Ähnlich
folgt dann c → b ≤ y → x und wegen (Prl) y → x = 1, das heißt y ≤ x.
Es folgt a → (b ∨ c) ≤ x und damit (21). In ähnlicher Weise sind (18)
und (22) herleitbar.
Gilt schließlich für a, b ∈ A a ≤ b, so ist gemäß (Div) a = a ∧ b =
b ⊙ (b → a). Weiter gilt für jedes x ∈ A wegen (RV3) a ⊙ x ≤ a ⊙ 1 = a.
Es folgt, daß A natürlich geordnet ist. ✷
Angemerkt sei ferner, daß der einer BL-Algebra unterliegende Verband
in einem strengen Sinne distributiv ist.
Lemma 4.20 Es sei (A; ≤, ⊙, →, 0, 1) eine BL-Algebra. Dann gilt für
a, bι ∈ A, ι ∈ I
a ∧
bι =
(a ∧ bι). (24)
Ist A linear geordnet, gilt außerdem
ι
ι
a ∨
bι =
(a ∨ bι), (25)
sofern die jeweiligen Suprema und Infima existieren.
ι
Beweis. Bemerkt sei zunächst, daß sich Gleichung (19) auf den Fall
unendlicher Konjunktionen verallgemeinern läßt: Es gilt a ⊙
ι bι =
ι(a ⊙ bι). Der Beweis ist direkt übertragbar.
Nun zu (24). Es gilt a ∧
ι bι =
ι bι ⊙ (
ι bι → a) =
κ(bκ ⊙ (
ι bι →
a)) ≤
κ(bκ ⊙ (bκ → a)) =
κ(a ∧ bκ). Umgekehrt gilt für jedes κ, daß
a ∧ bκ ≤ a ∧
ι bι, also auch
ι(a ∧ bι) ≤ a ∧
ι bι. Damit ist (24) gezeigt.
Weiter sei A linear geordnet. Klarerweise gilt für jedes κ ∈ I a∨
ι bι ≤
a ∨ bκ. Es sei x ∈ A mit x ≤ a ∨ bκ für alle κ. Dann ist entweder x ≤ a
oder sonst x ≤ bκ für jedes κ, also dann x ≤
ι bι; es folgt x ≤ a ∨
ι bι.
Also gilt (25). ✷
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ι