Algebraische Aspekte der Logik

(K2b) (α ∧ β) → β,
(K3) (α ∧ β) → (β ∧ α),
(K4) [(α → β) ∧ (α → γ)] → [α → (β ∧ γ)],
(K5a) [(α ∧ β) → γ] → [α → (β → γ)],
(K5b) [α → (β → γ)] → [(α ∧ β) → γ],
(K6) 0 → α,
(K7) [(α → β) ∧ ((α → 0) → β)] → β.
besteht sowie der Regel Modus ponens
(MP)
α α → β
.
β
In diesem Abschnitt beziehen sich alle Beweise auf den Kalkül KL,
weswegen wir statt ⊢KL einfach ⊢ schreiben werden.
Neben den definitionsgemäß vorhandenen Verknüpfungen lassen sich in
diesem Kalkül natürlich auch die übrigen oben erwähnten verwenden.
Formal handelt es sich dabei aber nur um Abkürzungen.
Definition 3.4 In KL stehe
Wir stellen als erstes fest:
¬α für α → 0,
1 für ¬0,
α ∨ β für ¬(¬α ∧ ¬β),
α ↔ β für (α → β) ∧ (β → α).
(10)
Lemma 3.5 KL ist bezüglich (LKL, |=TmA), d.h. der klassischen Aussagenlogik,
korrekt.
Beweis. Wir machen Gebrauch von Satz 2.16. Aufgrund des Satzes 3.2
genügt es, die Gültigkeit der Axiome sowie den Erhalt der Gültigkeit
unter (MP) für Belegungen mit Werten aus 2 zu überprüfen. ✷
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