Algebraische Aspekte der Logik

(R), sagen wir, daß β ′ mittels der Regel (R) aus α ′ 1, . . . , α ′ k ableitbar ist;
im Fall k = 0 sagen wir, daß β ′ Axiom [axiom] ist.
Ein fregescher Beweiskalkül [Frege system] für L oder kurz L-Kalkül
C ist eine endliche Menge von Regeln. Ein C-Beweis [proof] ist dann
eine endliche Folge von Aussagen α1, . . . , αl dergestalt, daß für jedes i =
1, ..., l αi entweder Axiom ist oder aus gewissen αj1, . . . , αjk , j1, ..., jk <
i, mittels einer Regel aus C ableitbar ist. In einem solchen Fall heiße
αl in C beweisbar [provable], in Zeichen ⊢C αl.
Schließlich sei (L, |=A) eine Aussagenlogik, und C sei ein L-Kalkül.
Dann heiße C korrekt [sound] bezüglich (L, |=A), falls jede in C beweisbare
Aussage bezüglich (L, |=A) gültig ist. Weiter heiße C vollständig
[complete] bezüglich (L, |=A), falls umgekehrt jede bezüglich (L, |=A)
gültige Aussage in C beweisbar ist.
Wir haben damit Aussagenlogiken als Mengen in bestimmten Strukturen
gültiger Aussagen erklärt und den entsprechenden Begriff eines
Beweiskalküls eingeführt. Es ist weiter auch denkbar, daß man erkunden
möchte, ob eine Aussage unter gewissen Voraussetzungen gültig
ist - d.h. unter der Vorgabe, daß die in ihr vorkommenden Variablen
bestimmte Bedingungen erfüllen, die im allgemeinen nicht erfüllt sind.
Wir geben entsprechend verallgemeinerte Versionen von Definition 2.8
und 2.12.
Definition 2.13 Es sei L eine aussagenlogische Sprache. Eine L-Theorie
[theory] sei eine Menge Φ von L-Aussagen.
Ist die L-Theorie Φ unter Substitutionen abgeschlossen, heiße Φ offen.
Eine Theorie ist dazu gedacht, Zusammenhänge zwischen spezifischen
Aussagen vorzugeben, wie sie im allgemeinen nicht gelten; d.h. es gilt
mit Bezug auf eine Aussagenlogik (L, |=A) für ein Element ϕ einer Theorie
i.a. nicht |=A ϕ. Eine offene Theorie gibt Zusammenhänge vor, die
für alle Aussagen gleichermaßen zu gelten haben.
Definition 2.14 Es sei (L, |=A) eine Aussagenlogik und Φ eine L-
Theorie. Dann gelte folgendes für eine L-Aussage α:
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