Algebraische Aspekte der Logik

Beweis. Es ist offensichtlich, daß (A; ∩, ∪, C, ø, W ) alle Erfordernisse
von Definition 3.7 erfüllt. ✷
Für die umgekehrte Richtung sind einige Vorbereitungen nötig. Aus
einer gegebenen Algebra müssen irgendwie die Punkte der Grundmenge
konstruiert werden; das geschieht mithilfe der maximalen Filter.
Definition 3.12 Es sei (A; ≤, ¬, 0, 1) eine boolesche Algebra. Eine Teilmenge
F von A heiße Filter, falls (i) aus a ∈ F und a ≤ b folgt, daß
auch b ∈ F ist, und (ii) aus a, b ∈ F folgt, daß auch a ∧ b ∈ F ist.
Ein Filter F von A heiße maximal, falls F ⊂ A gilt, jedoch kein Filter
F ′ existiert mit F ⊂ F ′ ⊂ A.
Lemma 3.13 Es sei (A; ≤, ¬, 0, 1) eine boolesche Algebra.
(i) Ein Filter F von A ist maximal, gdw für jedes a ∈ A genau eines
der Elemente a oder ¬a in F liegt.
(ii) Für Elemente a, b ∈ A mit a ≤ b gibt es einen a enthaltenden, b
jedoch nicht enthaltenden maximalen Filter.
Beweis. (i) Es sei F maximaler Filter und a ∈ A. Dann kann höchstens
eines der Elemente a, ¬a in F liegen, da wegen a ∧ ¬a = 0 sonst 0 ∈ F
und damit F = A wäre. Angenommen sei weiter, daß weder a noch
¬a in F liegt. Es sei dann Fa der von a und F erzeugte Filter; es ist
offenbar Fa = {x : x ≥ a ∧ y für ein y ∈ F }. Nach Annahme muß
Fa = A sein, also ¬a ≥ a ∧ y für ein y ∈ F gelten. Daraus folgt
¬a ≥ (a ∧ y) ∨ ¬a = y ∨ ¬a ≥ y, also ¬a ∈ F entgegen der Annahme.
Umgekehrt enthalte ein Filter F für jedes a ∈ A genau eines der Elemente
a und ¬a. Damit enthält er nicht jedes Element; und enthielte
er eines mehr, so wäre etwa a, ¬a ∈ F , folglich 0 ∈ F und F = A.
(ii) Die Menge {x : x ≥ a} ist ein a, nicht jedoch b enthaltender Filter.
Unter all den Mengen mit dieser Eigenschaft gibt es gemäß Zornschem
Lemma eine maximale, etwa F . Angenommen sei, daß F kein maximaler
Filter sei, daß also für ein c ∈ A weder c noch ¬c in F liegt. Es sei
Fc = {x : x ≥ c∧y für ein y ∈ F } der von c und F erzeugte Filter sowie
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