Algebraische Aspekte der Logik

[α] → [β]
0
def
= [α → β],
def
= {α : α ∼BL 0};
in derselben Weise induzieren alle durch (17) definierten Verknüpfungen
Operationen auf A(BL). Und A(BL) ist durch
partiell geordnet.
[α] ≤ [β], falls ⊢ α → β
Definition 4.16 Ein residuierter Verband (A; ∧, ∨, ⊙, →, 0, 1) ist eine
BL-Algebra, falls die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind.
(Div) a ∧ b = a ⊙ (a → b) für a, b ∈ A.
(Prl) (a → b) ∨ (b → a) = 1 für a, b ∈ A.
Während die Axiome residuierter Verbände eine einfache Interpretation
besitzen, läßt sich dasselbe nicht sagen über die BL-Algebren spezifizierenden.
(Div) wird als Teilbarkeit [divisibility] bezeichnet, da es besagt,
daß im Fall b ≤ a ein c mit a ⊙ c = b vorhanden ist - c = a → b
nämlich. (Prl) ist die Prälinearität [prelinearity], welche sicherstellt,
daß BL-Algebra durch linear geordnete darstellbar sind, wie unten gezeigt
werden wird. Der Hintergrund der Axiome (Div) und (Prl) kann
alternativ mit untenstehendem Satz 4.19 einsichtig gemacht werden,
der eine alternative Definition der BL-Algebren.
Wir zeigen nun einige elementare Eigenschaften von BL-Algebren.
Gemäß dem folgendem Lemma ist die partielle Ordnung einer BL-
Algebra durch die übrige Struktur bereits eindeutig festgelegt.
Lemma 4.17 In BL-Algebren lassen sich für je zwei Elemente a, b deren
Infimum wie Supremum mittels ⊙ und → ausdrücken:
a ∧ b = a ⊙ (a → b),
a ∨ b = [(a → b) → b] ∧ [(b → a) → a].
Beweis. Die Formel fürs Infimum ist durch (Div) vorgegeben. Die fürs
Supremum ist in analoger Weise wie Lemma 4.13 zu beweisen. ✷
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