Martin Wagenschein und seine Bedeutung für die heutige ...

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Der antike Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 ist eines der beiden
Beispiele, die sich aus rein mathematischer Sicht gerade für den exemplarischen Unterricht
anbieten.
Um den eigentlichen Beweis angehen zu können, müssen erst ein paar Voraussetzungen
geschaffen werden. Als erstes soll das Verständnis einer geraden Zahl erneuert werden. Wenn
man Zahlen nicht als Ziffern, sondern eher als zählbare Menge von Punkten (anschaulich
beispielsweise Erbsen) ansieht, kann man jedem Kind klarmachen, dass eine gerade Anzahl
von Dingen in zwei Haufen mit gleicher Anzahl aufteilen lässt. Zurück zu den Zahlen: Jede
gerade Zahl hat zwei gleiche Hälften. Um sich anschaulicher und exakter ausdrücken zu
können, sagt man statt gerade „ paarig“ oder „ zwiespältig“ (2). Genauso gibt es nun auch drei-
und vierspältige Zahlen.
Zweitens muss man abklären, für welche Punkthaufen die Eigenschaft von Quadratzahlen
zutrifft. Rechnerisch ist klar, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert eine Quadratzahl
ergibt. Den Punkthaufen aber muss man so anordnen, dass sich ein Quadrat ergibt, d.h. es
muss genauso viele Reihen haben, wie die einzelnen Reihen Punkte haben. Auch klar! Das
wichtige ist aber, dass es unter den Quadraten nun paarige und unpaarige gibt. Anschaulich
kann nun auch leicht verdeutlicht werden, dass aus einer unpaarigen Grundreihe kein paariges
Quadrat entstehen kann, z.B. aus einer Reihe mit fünf Elementen wird ein Quadrat mit 25
Elementen. Also: Jedes gerade Quadrat entsteht aus einer geraden Grundzahl, jedes ungerade
aus einer ungeraden (, was natürlich algebraisch viel schneller gezeigt werden kann, was aber
auf Kosten der Anschaulichkeit und Verständlichkeit geht).
Wenn man nun sich ein paariges Quadrat mit diesen Kenntnissen näher
ansieht, wird einem bald klar, dass es gleichzeitig auch vierspältig oder
doppelpaarig ist.
Jetzt geht man über zu dem eigentlichen Problem: Es handelt sich nicht um einzelne
Elemente, die sich quadratisch anordnen lassen oder nicht. Es geht um die Aufteilung eines
flächigen Quadrates in kleinere Einheitsquadrate und deren Bruchstücke.
Im Unterricht kann man an dieser Stelle die Frage stellen, die Sokrates dem Sklaven
Menon stellte: „ Hier ist ein Quadrat. Ich möchte wissen, welches Quadrat genau doppelt
soviel Fläche fasst. Und zwar möchte ich seine Seite wissen, die Seite, auf der es sich aufbaut,
gemessen im Vergleich zur Seite des ersten Quadrates.“ (2)
Anhand von Zeichnungen oder besser mit Papier und Schere kann man nun eine
geometrische Lösung erhalten: