Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

1.2 Dipol-Dipol-Wechselwirkung
B
z
m 2
r
m m
2
1
1-3cos() 2
1
0
-1
-2
0 30 60 90
Winkel [in ]
Abbildung 1.2: Wechselwirkung in Abhängigkeit der Richtung des Magnetfeldes; für θ = 90 ◦ Repulsion
und für θ = 0 ◦ Attraktion. Bei θ = 54.7 ◦ ändert sich die Wechselwirkung von anziehend zu
abstoßend.
1.1.1 Systemtemperatur und Wechselwirkungsparameter
Um das System geeignet zu beschreiben, wird der Wechselwirkungsparameter Γ eingeführt.
Er wird aus dem Verhältnis der potentiellen zur thermischen Energie eines
Teilchens gebildet. Die potentielle Energie ist durch die magnetische Dipol-Dipol-
Wechselwirkung zweier Kolloide im äußeren Feld gegeben, wobei der Abstand a jener
mit der zweidimensio-
zweier Kolloide im hexagonalen Kristall ist, der über ρ = √ 2 1
3 a 2
nalen Partikeldichte verknüpft ist.
Γ = E magn
k B T = µ 0
4π · χ2 ⃗ effH 2 · (πρ) 3/2
k B T
∝ 1
T sys
(1.4)
Die Definition des Wechselwirkungsparameters Γ ist umgekehrt proportional zur Temperatur
des kolloidalen Systems T sys . Im Folgenden ist bei einer Temperaturänderung
immer die Systemtemperatur gemeint und nicht die Temperatur des Wärmereservoirs;
diese wird konstant gehalten. T sys lässt sich durch die Stärke des Magnetfeldes und
die 2d-Dichte der Kolloide über einen Bereich von 3 Dekaden variieren. Durch eine
rasche Änderung des Magnetfeldes lassen sich darüber hinaus enorme Abkühlraten
realisieren. Diese in der Literatur übliche Definition des Wechselwirkungsparameters
Γ unterscheidet sich um einen Faktor π 3 2 von jener, welche oft in älterer Literatur
verwendet wird; es fehlt der Faktor 1 der induzierten Dipol-Dipol Energie, zusätzlich
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wird nur die Paarwechselwirkung betrachtet und nicht wie eigentlich nötig die Wechselwirkung
eines Kolloids im Feld aller seiner Nachbarn. Letzteres ist bei kristalliner
Anordnung über die Madelungkonstante M = ∑ N a 3
i=1 |r i −r j
möglich, mit der Gleichung
| 3
(1.4) multipliziert werden müßte. Für einen hexagonalen Kristall berechnet sie sich zu
M ≈ 11.
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