Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

3.7 Langwelliger Limes
damit die Energie, wenn wir die Summe über ⃗ R in ein Integral umformen und Terme
umsortieren, folgende Form annimmt,
U harm = 1 ∫
2
wenn die Abkürzung C σµτν eingführt wurde:
C σµτν = − 1
8v 0
∑
⃗R
d⃗r + u µν C µνστ u στ , (3.27)
[R σ D µν ( ⃗ R)R τ + R µ D σν ( ⃗ R)R τ + R σ D µτ ( ⃗ R)R ν + R µ D στ ( ⃗ R)R ν
]
.
(3.28)
Nach Fouriertransformation von Gleichung (3.28) wird deutlich, daß der Multiplikation
der dynamischen Matrix mit ⃗ R im Ortsraum, eine Differentiation im q-Raum entspricht
∂ 2
D στ (⃗q) = − 1 ∑
∂q ν ∂q µ v 0
⃗R
R ν D στ ( ⃗ R)R µ e −i⃗q· ⃗R , (3.29)
so daß der Tensor vierter Stufe im Grenzfall q → 0 umgeschrieben werden kann:
( )
1 ∂
2
C σµτν = lim D µν (⃗q) +
∂2
D σν (⃗q) +
∂2
D µτ (⃗q) +
∂2
D στ (⃗q) .
⃗q→0 8 ∂q σ ∂q τ ∂q µ ∂q τ ∂q σ ∂q ν ∂q µ ∂q ν
(3.30)
Es lassen sich dieselben Symmetrieüberlegungen wie in Abschnitt (3.7.1) anstellen, die
zu den einzigen unabhängigen Komponenten C ξηξη und C ξξηη führten. Gleichung (3.30)
reduziert sich analog zu Gleichung (3.22), wenn wir als Invarianten wieder die Spur der
Matrix und die Summe der Quadrate aller Einträge nehmen, zu
C σµτν = λδ σµ δ τν + µ (δ σµ δ τν + δ σν δ τµ ) . (3.31)
Der Lamé-Koeffizient λ nimmt dabei explizit die Form
1
λ = lim
⃗q→0 8
( )
∂ 2 D 11
+ ∂2 D 12
+ ∂2 D 21
+ ∂2 D 22
∂q 1 ∂q 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂q 2 ∂q 1 ∂q 2 ∂q 2
(3.32)
an, mit einem analogen Ausdruck für den Lamé-Koeffizienten µ. Der Differentialoperator
kann im Limes q → 0 als Differenzenquotient geschrieben werden:
∂D µν
lim
q µ →0 ∂q µ
D µν (⃗q) − D µν (0)
= lim
.
qµ →0 q µ
Wird C σµτν und D µν in der selben Basis dargestellt, gilt
q 2 · C = lim
⃗q→0
D = K , (3.33)
wenn noch Gleichung (3.23) berücksichtigt wird. Der in Gleichung (3.28) aus der dynamischen
Matrix konstruierte Tensor entpuppt sich im langwelligen Limes als der
Elastizitätstensor der Kontinuumstheorie.
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