Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

4.1 KTHNY-Theorie
wirkt, diese Theorien auf eine Gittertheorie des 2d-Schmelzens für unterschiedliche
radiale und angulare Kopplungsstärken der Dislokationen zu erweitern.
Abbildung 4.1: Eine Dislokation ist eine Verzerrung des
hexagonalen Gitters, bei der zwei Gitterplätze 5 (grün)
bzw. 7 (orange) nächste Nachbarn haben. Auf dem Gitterplatz
mit fünf nächsten Nachbarn enden zwei Gitterlinien
(rot), die im 60 ◦ Winkel zueinander stehen. Der Burgersvektor
⃗ b ist blau eingezeichnet.
Zu ihrer Erzeugung muß eine Energie E aufgewendet werden, die sich aus der Deformation
des umliegenden Gitters berechnen läßt, wenn man eine ideale hexagonale Umgebung
annimmt, d.h. keine anderen Dislokationen vorhanden sind. Betrachtet man nur
den Anteil der reinen Scherung zur Energie und sei die Verzerrung u über den Kreisring
aus Abbildung (4.2) homogen, entsprechend u = b/2πr, gilt:
∫ L
∫
1
L
( )
E =
2 µ · 1 µb 2
u2 2πr dr =
2 (2πr) 2πr dr = b2 µ L 2 4π ln + E C
a
. (4.1)
a
a
Die Variablen sind in Abbildung (4.2) definiert. Die Energie einer Dislokation divergiert
logarithmisch mit der Systemgröße L. Zur Integration muß ein unterer Schwellwert a
eingeführt werden, um die negative Divergenz des Logarithmus auszuschließen. Dies
korrespondiert mit dem Umstand, dass auf Längenskalen der Gitterkonstanten keine
Elastizitätskontinuumstheorie mehr angewendet werden kann. Die Energie E C der Verzerrung
innerhalb des Kreises mit Radius a wird ”
Core-Energie“ genannt.
Eine exakte
Berechnung der Energie einer Dislokation im idealen hexagonalen Gitter inklusive der
Kompressionsenergie liefert:
(
E = b2 µ(λ + µ) L
2π λ + 2µ ln a
)
+ E C . (4.2)
Abbildung 4.2: Definition der Variablen zur Berechnung der Energie
einer Dislokation. Innerhalb des Kreises mit Radius a kann keine Kontinuumstheorie
angewendet werden, der Beitrag der Verzerrungsenergie
innerhalb des Kreises wird in der ”
Core-Energie“ zusammengefasst.
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