Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

3.2 Das Lindemannkriterium in zwei Dimensionen
Spins nur mit einer endlichen Anzahl von Nachbarspins, ist die Energie für eine Spinmode
(z.B. Grundzustandsmode) im eindimensionalen Fall proportional zu L(2π/L) 2 ,
im zweidimensionalen Fall ∝ L 2 (2π/L) 2 und im dreidimensionalen Fall ∝ L 3 (2π/L) 2 ,
wenn L die lineare Ausdehnung des Spinsystems ist. Damit divergiert die Energie einer
Mode im ein- bzw. zweidimensionalen Fall nicht mit der Systemgröße, wie sie es im
dreidimensionalen Fall macht. Die Moden sind thermisch angeregt und zerstören im
langwelligen Limes die Translationssymmetrie des Systems. Dies wurde für den allgemeineren
Fall nichtharmonischer Potentiale von Mermin und Wagner [11] bewiesen.
Für Kristalle, bei denen wegen möglicher Gitterplatzwechsel nicht davon ausgegangen
werden kann, daß die Partikel nur mit einer endlichen Zahl von Nachbarn wechselwirken
falls sie durch den Kristall diffundieren, wird der Beweis komplizierter. In [12] zeigte
Mermin, die Bogoliubov-Ungleichung benutzend, daß die Translationssymetrie eines
zweidimensionalen Kristalls gestört ist, während seine Rotationssymmetrie erhalten
bleibt. Für einen harmonischen Kristall gilt,
< [⃗u( R) ⃗ − ⃗u( R ⃗ ′ )] 2 > ∼ ln | R ⃗ − R ⃗ ′ | für | R ⃗ − R ⃗ ′ | → ∞ , (3.1)
wenn ⃗u( R) ⃗ die Verschiebung eines Partikels von seinem idealen Gitterpunkt R ⃗ =
n 1 ⃗a 1 + n 2 ⃗a 2 (mit n i ganze Zahl und ⃗a i Basisvektor der Einheitszelle) ist. Daß in zweidimensionalen
Systemen trotzdem von einer kristallinen Phase gesprochen wird, liegt
an der schwachen logarithmischen Divergenz. Die Nahordnug ist, wie in Abbildung
(1.3) des Kolloidkristalls zu erkennen, periodisch mit der für 2 Dimensionen typischen
sechszähligen Symmetrie.
3.2 Das Lindemannkriterium in zwei Dimensionen
Der Lindemannparameter γL
3d beschreibt die Fluktuation eines Kristallpartikels um
seine Gleichgewichtslage in Einheiten der Gitterkonstante a [13],
γ 3d
L = < |⃗u|2 >
a 2 . (3.2)
Er ist für einen 3D-Kristall endlich und wird als Schmelzkriterium benutzt. Abhängig
von der Art der Gitterstruktur schmilzt ein Kristall bei zunehmender Temperatur, wenn
die Fluktuationen ≈ 10 % der Gitterkonstanten betragen. Für 2d-Systeme divergiert
der Lindemannparameter aufgrund der langwelligen Moden auch in der kristallinen
Phase. Bedanov, Gadiyak und Lozovik [14] führten ein lokales Koordinatensystem ein,
indem die Auslenkung eines Teilchens j relativ zu seinen nächsten Nachbarn j + 1
betrachtet wird,
γ 2d
L = < |⃗u j − ⃗u j+1 | 2 >
a 2 . (3.3)
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