Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

3.6 Dispersionsrelation
für drei verschiedene Wechselwirkungsstärken Γ. Die offenen Kreise stehen für einen
weichen Kristall (Γ = 75), die offenen Quadrate für einen harten (Γ = 175) und die
schwarzen Dreiecke stehen für einen sehr harten (Γ = 250) Kristall. Aus den Datensätzen
der Kolloidkoordinaten sind für jede Wechselwirkungsstärke 2000 statistisch
unabhängige Konfigurationen der Kolloide im Ortsraum genommen worden und in eine
der Symmetrie angepassten Basis transformiert worden. Dazu wurde das kartesische
Koordinatensystem gedreht, bis eine der drei Vorzugsrichtungen des Kristalls parallel
zur y-Achse lag. Das Verschiebungsfeld wurde bestimmt, indem über einen endlichen
Zeitraum die Koordinaten eines jeden Kolloids gemittelt wurden. Dieser Mittelwert
stellt die Gleichgewichtslage eines Kolloids dar und wurde von den jeweiligen Koordinaten
subtrahiert. Danach wurden die gedrehten Koordinaten der Verschiebungsvektoren
in die Basis eines hexagonalen Kristalls transformiert (die Transformationsmatrizen
sind in Anhang (A) beschrieben), fouriertransformiert und über alle Konfigurationen
gemittelt. Um die für zweidimensionale Systeme typischen langreichweitigen Fluktuationen,
welche dem fluiden Charakter eines 2d-Kristalls auf langen Skalen entsprechen,
abzuseparieren, wurde die Mittelung zur Bestimmung der Gleichgewichtslage eines Kolloids
für ein Zeitfenster von 25, 40 und 60 sec bei Γ = 250, 175 bzw. 75 jeweils neu
durchgeführt. Von dem zur Verfügung stehenden Bildausschnitt von 835 × 620 µm 2
wurde ein Unterfenster von 440×440 µm 2 , das ca. 1300 Kolloide enthielt, ausgewertet.
Abbildung 3.7: Die Symmetriepunkte der ersten Brillouinzone sind
durch Γ (Mittelpunkt), M (Mitte einer Kante) und K (Ecke) gegeben,
so daß ⃗q entlang Γ → M ein Phonon mit abnehmender Wellenlänge in
Richtung der Ecke eines Hexagons des Kristalls im Ortsraum ist.
Wie zu erwarten, ist die Bandstruktur linear in der Wechselwirkungsstärke Γ, so daß bei
Division der Ordinate durch Γ die Datenpunkte zu selben q-Werten aufeinander liegen.
Der obere Ast entspricht den longitudinalen, der untere Ast den transversalen Phononen.
Die Übereinstimmung ist sogar für die stehenden Wellen am Brillouinzonenrand
sehr gut. Für kleine ⃗q liefert M → Γ und K → Γ die selben Werte. Im langwelligen
Limes gleichen sich die Dispersionen für Phononen unterschiedlicher Kristallrichtungen,
die Gittertheorie wird isotrop. Gleichzeitig wird die Gittertheorie im Limes q → 0
homogen. Anschaulich ist klar, daß die diskrete Gitterstruktur für beliebig lange Wellenlängen
in ein Kontinuum übergeht. Dies legt nahe, die Dispersionsrelationen mit der
Elastizitätstheorie zu vergleichen.
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