Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

3.3 Dynamische Matrix eines hexagonalen Kristalls
frei, bis sie mit dem Käfig, bestehend aus den benachbarten Partikeln, wechselwirken.
(Hydrodynamische Effekte auf den Selbstdiffusionskoeffizienten zweidimensionaler Kolloidsysteme
sind in [16, 17] beschrieben). Streng genommen ist in der flüssigen Phase
die Verschiebung eines Partikels als Abweichung von seiner Gleichgewichtslage auf dem
Gitter nicht definiert. Da in Gleichung (3.4) jedoch nur zeitliche Differenzen der Positionsabweichung
berechnet werden, ist das zugrunde liegende Kristallgitter kein notwendiges
Konzept und die Gleichung kann ebenso in der flüssigen Phase angewendet
werden.
3.3 Dynamische Matrix eines hexagonalen Kristalls
Wir betrachten ein System von elastisch gekoppelten Massepunkten in der zweidimensionalen
Ebene, die ein hexagonales Gitter besetzen. Viskose Dämpfung sei vorerst
vernachlässigt. Die Massepunkte haben eine Gleichgewichtslage und die rückstellenden
Kräfte sind linear in den Auslenkungen, sofern letztere klein bleiben. Die Bewegungsgleichung
des Systems lautet [18, 19]:
M ¨⃗u( R) ⃗ = − ∑ D( R ⃗ − R ⃗ ′ )⃗u( R ⃗ ′ ) . (3.6)
R ′
M ist die Masse eines Massepunktes, D die Dynamische Matrix im Ortsraum mit den
Komponenten D µν ; die Definition der Vektoren ist Abbildung (3.3) zu entnehmen.
(Für einen einzelnen Massepunkt M reduziert sich die Dynamische Matrix auf die
Federkonstante k des Systems Mẍ = −kx.)
v 0
Abbildung 3.3: Definition der Vektoren.
⃗u( ⃗ R) ist die Verschiebung der Partikel aus
der Gleichgewichtslage am Gitterplatz ⃗ R. Die
Gitterkonstante beträgt a und die schraffierte
Fläche v 0 entspricht dem 2d ”
Volumen“ der
Voronoizelle.
Die Dynamische Matrix ergibt sich in harmonischer Näherung aus dem Potential in
der Nähe der Gleichgewichtslage eines Partikels,
U harm = 1 2
∑ ∑
⃗R, R ⃗′ µν
u µ ( ⃗ R)D µν ( ⃗ R − ⃗ R ′ )u ν ( ⃗ R) . (3.7)
31