Schmelzen und Erstarren in zwei Dimensionen Dissertation ...

3.4 Äquipartitionstheorem
3.3.1 Eigenwerte der Dynamischen Matrix
Für jede Wellenzahl ⃗q liefert die Dynamische Matrix zwei Eigenwerte λ 1 (⃗q), λ 2 (⃗q) entsprechend
transversaler und longitudinaler Polarisation der Phononen. Bis auf die Masse
der Partikel liefern diese Eigenwerte die Eigenfrequenzen des hexagonalen Kristalls
in zwei Dimensionen. Herz [19] hat dies für verschiedene Anzahlen nächster Nachbarn
berechnet. Abbildung (3.4) zeigt die Dispersionsrelation für 12 bzw. 250 nächste Nachbarn;
die Summe in Gleichung (3.8) läuft darin bis zur 2. respektive 17. Schale der
Nachbarpartikel. Die Richtung des ⃗q-Vektors zeigt auf einen der sechs Nachbarpartikel
(Richtung Kante der Brillouinzone im reziproken Raum). In Anbetracht der Differenz
der berücksichtigten Partikel sind die Abweichungen marginal.
Eigenwert in x-Richtung
1000
800
λ 1
(2)
λ 1
(17)
λ 2
(2)
λ 2
(17)
a 2 /k B
T
600
400
200
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
q x
Abbildung 3.4: Eigenwerte der Dynamischen Matrix für die 2. Schale (gepunktet) und die 17. Schale
(durchgezogen) nächster Nachbarn. Richtung des ⃗q-Vektors längs der Ecke eines Hexagons.
Ein expliziter Ausdruck der Komponenten der Dynamischen Matrix für die kleinste
Schale von Nachbarteilchen ist in Anhang (A.1) angegeben.
3.4 Äquipartitionstheorem
In Gleichung (3.10) ist die Energie des Kolloidsystems bilinear in den kanonischen
Variablen u µ (⃗q). Der kolloidale hexagonale Kristall ist ein thermisches System, Brownsche
Bewegung ist visualisierbar, folglich sind die potentiellen Energien des Systems
von der gleichen Größenordnung wie die kinetischen Energien. Das legt nahe, das Äquipartitionstheorem
anzuwenden (z.B. [20]); die kinetische Energie verteilt sich auf jeden
quadratischen Term der kanonischen Variablen im Hamiltonian im Mittel mit 1k 2 BT
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