13.1 Zur Einteilung der Mechanik - Institut für Dynamik und ...

54 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Koordinate . Erkauft wurde diese Vereinfachung der Ortsangabe mit der Zeitabhängigkeit
der Basisvektoren und Die natürlichen Koordinaten gehen noch einen
Schritt weiter.
Betrachtet man den interessierenden Punkt zu den Zeitpunkten und , so ist
durch die Bewegung des Punktes eine Richtung, die Richtung seines Geschwindigkeitsvektors,
ausgezeichnet. Die natürlichen Koordinaten nutzen diese Information
dadurch, dass der Ursprung des Basissystems im Punkt und ein Basisvektor der Länge
1 in Richtung des Geschwindigkeitsvektors liegt. Dieser Basisvektor heißt Tangenteneinheitsvektor
. Der Geschwindigkeitsvektor des interessierenden Punktes ist einfach
Natürlich enthält der Basisvektor
selbst weitere Informationen, die sich bei der Ableitung
der Geschwindigkeit zeigen.
P(t+2dt)
P(t+dt)
P(t)
a
t
z
r
a
n
x
y
Der Geschwindigkeitsvektor bzw. der Tangentenvektor wird in seiner Richtung definiert
durch zwei differentiell benachbarte Punkte und . Die Weglänge
zwischen diesen beiden Punkten ist .
Betrachtet man noch einen weiteren differentiell benachbarten Punkt ,
so werden diese drei Punkte eine Ebene aufspannen, wenn die Kurve „gekrümmt“ ist.
In dieser Ebene gibt es einen Kreis, den sogenannten Schmiegekreis, auf dem die drei
differentiell benachbarten Punkte liegen. Der Radius des Schmiegekreises wird der
Krümmungsradius der Kurve im Punkt genannt. Wenn die Bahn des Punktes
eine Gerade ist, dann ist der Krümmungsradius nicht endlich. Man sagt auch, die
Krümmung ( ) ist gleich Null.