Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

klar ist. Zu Vereinfachungszwecken werden die drei Punkte auch verwendet, um Mengen
mit nicht endlich vielen Elementen explizit darzustellen. Dies ist mathematisch aber nur
dann zulässig, wenn man diese Mengen auch anders darstellen könnte und die drei Punkte
wirklich nur der Abkürzung und der Verbesserung der Lesbarkeit dienen. Beispielsweise
bezeichnet so {0, 2, 4, 6, . . . , 48, 50} die Menge der geraden natürlichen Zahlen, welche
kleiner oder gleich 50 sind, {0, 2, 4, 6, . . .} die Menge aller geraden natürlichen Zahlen und
{1, 3, 5, 7, . . .} die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen.
1.1.3 Beispiele: explizite Darstellungen
Hier sind einige weitere Beispiele für explizite Darstellungen von Mengen
(1) Die Menge {1, 2, 3, 4} besteht aus den vier Elementen 1, 2, 3 und 4.
(2) Die Menge {0, 2, 4, 6, . . . , 98, 100} besitzt, wie man leicht nachzählt, genau 51 Elemente,
nämlich die geraden natürlichen Zahlen von 0 bis 100.
(3) Die Menge {♥, {}, {♥, †}} besitzt drei Elemente, von denen wiederum zwei Mengen
sind, nämlich {} und {♥, †}.
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Um die zweite in der Mathematik gebräuchliche Darstellung von Mengen festlegen zu
können, brauchen wir den folgenden Begriff einer (logischen) Aussage, der auf den antiken
griechischen Philosophen Aristoteles (384-323 v. Chr.) zurückgeht.
1.1.4 Definition: Aussage (Aristoteles)
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist, zu sagen, es sei wahr
oder falsch. Ist sie wahr, so sagt man auch, dass sie gilt, ist sie falsch, so sagt man auch,
dass sie nicht gilt.
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Etwa ist „heute regnet es“ eine Aussage in der deutschen Sprache, und „Oxford is a town
in the UK“ ist eine Aussage in der englischen Sprache. Manchmal kommen in Aussagen
auch Platzhalter für Objekte vor, etwa „Person x studiert Informatik“. In diesem Zusammenhang
spricht man dann oft präziser von Aussageformen. Im Weiteren werden wir uns
auf Aussagen beschränken, die mit Mathematik zu tun haben, wie 5 < 6 (diese Aussage
ist wahr) oder „8 ist eine Primzahl“ (diese Aussage ist falsch) oder x < 5 (die Wahrheit
dieser Aussage hängt davon ab, was man für den Platzhalter x setzt). Am letzten Beispiel
sieht man, dass es bei einer Aussageform keinen Sinn ergibt, davon zu sprechen, sie sei
wahr oder falsch. Vielmehr müssen alle darin vorkommenden Platzhalter entweder durch
konkrete Objekte ersetzt werden oder durch Konzepte wie „für alle . . . “ und „es gibt . . . “
gebunden werden.
Neben den Mengen bilden Aussagen und das Argumentieren mit ihnen, also die Logik,
das zweite Fundament der Mathematik. Dies behandeln wir im zweiten Kapitel genauer.
Wir werden im Folgenden Aussagen verwenden, von denen aus der Umgangssprache heraus
nicht unbedingt sofort klar ist, wie sie gemeint sind. Daher müssen wir uns auf eine
Lesart einigen (die Formalia dazu werden in Kapitel 2 nachgereicht). Bei Aussagen mit
„oder“, etwa „Anna oder Martin studieren Informatik“ meinen wir immer das sogenannte
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