Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

1.4.9 Beispiele: Funktionen
Nachfolgend sind vier Definitionen von Funktionen angegeben. Man lässt bei solchen Spezifikationen
normalerweise die Phrase „. . . ist für alle . . . definiert durch . . . “ weg und verwendet
auch das normale Gleichheitssymbol „=“ statt des Symbols „:=“ der definierenden
Gleichheit.
(1) f 1 : N → N, wobei f 1 (x) = 3x 2 + 1.
(2) f 2 : R × R → R, wobei f 2 (x, y) = √ x 2 + y 2 .
(3) f 3 : N → P(N), wobei f 3 (x) = {x}.
(4) f 4 : N → N × N, wobei f 4 (x) = (x, x 2 ).
Mit diesen Festlegungen gelten etwa f 1 (3) = 3 · 3 2 + 1 = 28, f 2 (3, 4) = √ 3 2 + 4 2 = 5
f 3 (1) = {1} und f 4 (5) = (5, 25). Das Anwenden einer Funktion auf Elemente heißt also
das Ersetzen der Variablen im Ausdruck, der die Funktion definiert, durch das jeweilige
Element und dann das Ausrechnen des neuen Ausdrucks.
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Dies war eine knappe Einführung in Relationen und Funktionen. Wir werden das Thema
später noch wesentlich vertiefen. Eines haben wir aber noch zu klären: Da Mengen
Zusammenfassungen von wohlunterschiedenen Objekten sind, ist noch zu sagen, was die
Gleichheit von Paaren ist. Wenn man (a, b) als Abkürzung für die Menge {a, {a, b}} oder
die Menge {{a}, {a, b}} auffaßt, ist klar, wann zwei Paare gleich sind.
1.4.10 Definition: Gleichheit von Paaren
Für alle Paare (a, b) und (c, d) definieren wir die Gleichheit (a, b) = (c, d) genau dann als
gültig, wenn a = c und b = d gelten.
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Zwei Relationen R und S sind mengentheoretisch gleich, wenn sie als Mengen gleich
sind, sie also dieselben Paare enthalten. Wir haben Relationen nur in Verbindung mit
den Mengen betrachtet, zwischen denen sie definiert sind. Deshalb setzen wir bei einem
Gleichheitstest R = S in Zukunft immer implizit voraus, dass R und S die gleiche Quelle
und das gleiche Ziel besitzen. Genaugenommen definieren wir die Gleichheit also nur für
solche Relationen. Man kann die Gleichheit auch für alle Relationen definieren, indem man
zum Gleichsein von R und S fordert, dass R und S die gleiche Quelle und das gleiche Ziel
besitzen und als Mengen gleich sind.
Funktionen sind spezielle Relationen. Da (x, y) ∈ f mit f(x) = y per Definition gleichwertig
ist, bekommen wir das folgende Resultat. Man beachte, dass wir den Test auf Gleichheit
wiederum nur für Funktionen der gleichen Funktionalität betrachten.
1.4.11 Satz: Gleichheit von Funktionen
Für alle Funktionen f, g : M → N gilt f = g genau dann, wenn f(x) = g(x) für alle
x ∈ M gilt.
Beweis: Es gilt f = g genau dann, wenn gilt
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