Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

(2) ⋂ M := {x | Für alle X ∈ M gilt x ∈ X}
und nennen die Konstruktionen ⋃ M und ⋂ M die Vereinigung bzw. den Durchschnitt
aller Mengen von M (oder kürzer: beliebige Vereinigung und beliebigen Durchschnitt). □
Manchmal schreibt man auch ⋃ X∈M X und ⋂ X∈M X für ⋃ M bzw. ⋂ M. Wir bleiben aber
bei den kürzeren Schreibweisen der obigen Definition. Offensichtlich gelten die Gleichungen
⋃ {M, N} = M ∪ N und ⋂ {M, N} = M ∩ N im Fall von M = {M, N} und damit ist
die neue Definition der beliebigen Vereinigungen und Durchschnitte eine Erweiterung der
ursprünglichen nur binären (bzw. endlichen) Vereinigungen und Durchschnitte.
Für diese neuen beliebigen Vereinigungen und Durchschnitte übertragen sich alle Eigenschaften
von Satz 1.2.4 (3) bis (5), wenn man die Notation entsprechend anpasst. Wir
zeigen dies am Beispiel von Punkt (4).
1.2.6 Satz: Einschließungseigenschaft
Es sei M eine Menge von Mengen mit M ̸= ∅. Dann gilt für alle M ∈ M die Einschließungseigenschaft
⋂ M ⊆ M ⊆ ⋃ M.
Beweis: Erste Inklusion: Es sei a ein beliebiges Objekt. Gilt a ∈ ⋂ M, so gilt a ∈ X
für alle X ∈ M. Folglich gilt auch a ∈ M, da M ∈ M vorausgesetzt ist.
Zweite Inklusion: Wiederum sei a beliebig vorgegeben. Gilt a ∈ M, so gibt es ein X ∈ M,
nämlich X := M, mit a ∈ X. Also gilt per Definition a ∈ ⋃ M.
Später werden wir noch lernen, dass eine Aussage der Form „für alle a ∈ ∅ gilt . . . “
immer wahr ist. Damit gilt die Einschließungseigenschaft auch für M als die leere Menge
(von Mengen). Man kann beliebige Vereinigungen und Durchschnitte in einer speziellen
Weise beschreiben. Dies wird nun gezeigt.
1.2.7 Satz: rekursives Vereinigen und Schneiden
Es sei M eine Menge von Mengen. Dann gelten, falls M ≠ ∅ zutrifft, für alle Mengen
M ∈ M die folgenden Gleichungen:
(1) ⋃ M = M ∪ ⋃ (M \ {M})
(2) ⋂ M = M ∩ ⋂ (M \ {M})
Weiterhin gilt im Fall der leeren Menge von Mengen die Eigenschaft ⋃ ∅ = ∅.
Beweis: Wir beginnen mit Aussage (1) und zeigen hier zuerst die Inklusion „⊆“: Es sei a
ein beliebiges Objekt mit a ∈ ⋃ M. Dann gibt es X 0 ∈ M mit a ∈ X 0 . Nun unterscheiden
wir zwei Fälle:
(a) Es gelte X 0 = M. Dann gilt auch a ∈ M und daraus folgt a ∈ M ∪ ⋃ (M \ {M}).
(b) Es gelte X 0 ≠ M. Dann gilt X 0 ∈ M \ {M}. Folglich gibt es eine Menge X mit
X ∈ M \ {M}, nämlich X := X 0 , mit a ∈ X. Dies zeigt, dass a ∈ ⋃ (M \ {M}) gilt
und somit gilt auch die Aussage a ∈ M ∪ ⋃ (M \ {M}).
12